Question

已知拋物線的頂點(diǎn)為（0，4）且與x軸交于（﹣2，0），（2，0）．

（1）直接寫(xiě)出拋物線解析式；
（2）如圖，將拋物線向右平移k個(gè)單位，設(shè)平移后拋物線的頂點(diǎn)為D，與x軸的交點(diǎn)為A、B，與原拋物線的交點(diǎn)為P．
①當(dāng)直線OD與以AB為直徑的圓相切于E時(shí)，求此時(shí)k的值；
②是否存在這樣的k值，使得點(diǎn)O、P、D三點(diǎn)恰好在同一條直線上？若存在，求出k值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）y=﹣x²+4。
（2）①如圖，連接CE，CD，

∵OD是⊙C的切線，∴CE⊥OD。
在Rt△CDE中，∠CED=90°，CE=AC=2，DC=4，
∴∠EDC=30°。
∴在Rt△CDO中，∠OCD=90°，CD=4，∠ODC=30°，
∴OC=。
∴當(dāng)直線OD與以AB為直徑的圓相切時(shí)，k=OC=。
②存在k=，能夠使得點(diǎn)O、P、D三點(diǎn)恰好在同一條直線上。理由如下：
設(shè)拋物線y=﹣x²+4向右平移k個(gè)單位后的解析式是y=﹣（x﹣k）²+4，它與y=﹣x²+4交于點(diǎn)P，
由﹣（x﹣k）²+4=﹣x²+4，解得x₁=，x₂=0（不合題意舍去）。
當(dāng)x=時(shí)，y=﹣k²+4。
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（，﹣k²+4）。
設(shè)直線OD的解析式為y=mx，把D（k，4）代入，得mk=4，解得m=。
∴直線OD的解析式為y=x。
若點(diǎn)P（，﹣k²+4）在直線y=x上，得﹣k²+4=•，解得k=±（負(fù)值舍去）。
∴當(dāng)k=時(shí)，O、P、D三點(diǎn)在同一條直線上。

試題分析：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為（0，4），∴可設(shè)拋物線解析式為y=ax²+4。
又∵拋物線過(guò)點(diǎn)（2，0），∴0=4a+4，解得a=﹣1。∴拋物線解析式為y=﹣x²+4。
（2）①連接CE，CD，根據(jù)切線的性質(zhì)得出CE⊥OD，再解Rt△CDE，得出∠EDC=30°，然后Rt△CDO，得出OC=，則k=OC=。
②設(shè)拋物線y=﹣x²+4向右平移k個(gè)單位后的解析式是y=﹣（x﹣k）²+4，它與y=﹣x²+4交于點(diǎn)P，先求出交點(diǎn)P的坐標(biāo)是（，﹣k²+4），再利用待定系數(shù)法求出直線OD的解析式為y=x，然后將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入y=x，即可求出k的值。