在平面直角坐標(biāo)系xOy中,等腰三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(0,1),點(diǎn)B在x軸的正半軸上,∠ABO=30°,點(diǎn)C在y軸上.
(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)為
(0,3)或(0,-1)
(0,3)或(0,-1)
;
(2)點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′在x軸上,AP=1,在圖中標(biāo)出點(diǎn)P的位置并說(shuō)明理由;
(3)在(2)的條件下,在y軸上找到一點(diǎn)M,使PM+BM的值最小,則這個(gè)最小值為
57
2
57
2
分析:(1)先確定A的位置,再作出△AOB,就可以求出AB=2,OB=
3
,在y軸上符合條件的有兩點(diǎn)C1和C2,求出即可;
(2)根據(jù)AP=AO=1,得出P的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是O點(diǎn),求出OC,即可得出OP,解直角三角形求出PQ和OQ即可;
(3)作出B關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),連接PB′即可得出M點(diǎn)的位置,求出PB′長(zhǎng)即可.
解答:解:(1)
符合條件的有兩點(diǎn),以A為圓心,以AB為半徑畫(huà)弧,交y軸于C1、C2點(diǎn),
∵A(0,1),
∴OA=1,
∵在Rt△AOB中,OA=1,∠ABO=30°,
∴AB=2OA=2,OB=
3
,
即AC1=AC2=2,
∴OC1=1+2=3,OC2=2-1=2,
∴C的坐標(biāo)是(0,3)或(0,-1),
故答案為:(0,3)或(0,-1);

(2)P的坐標(biāo)是(
3
2
,
3
2
),
理由是:過(guò)P作PQ⊥x軸于Q,
∵OA=1,AP=1,AO⊥x軸,
∴x軸和以A為圓心,以1為半徑的圓相切,
∵AP=1,
∴P在圓上,
∵點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′在x軸上,AP=1,
∴P′點(diǎn)和O重合,如圖:
∵P和P′關(guān)于直線AB對(duì)稱(chēng),
∴PP′⊥AB,PC=P′C,
由三角形面積公式得:S△AOB=
1
2
AO×OB=
1
2
AB×CO,
3
×1=2OC,
∴OC=
3
2
,
∴PP′=2OC=
3
,
∵∠ABO=30°,∠OCB=90°,
∴∠POB=60°,
∴PQ=OP×sin60°=
3
2
,OQ=OP×cos60°=
3
2

即P的坐標(biāo)是(
3
2
,
3
2
);

(3)
作B關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′,連接PB′交y軸于M,則M為所求,
∵OB=
3
,
∴OB′=
3

即BB′=2
3
,
∵PQ=
3
2
,
∴由勾股定理得:PB′=
(2
3
)2+(
3
2
)2
=
57
2

∴PM+BM=PM+B′M=PB′=
57
2
,
故答案為:
57
2
點(diǎn)評(píng):本題考查了軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題,解直角三角形,等腰三角形的性質(zhì),勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用,題目綜合性比較強(qiáng),難度偏大.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

13、在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(2,-2),在y軸上確定點(diǎn)P,使△AOP為等腰三角形,則符合條件的有
4
個(gè).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸是x=1,并且經(jīng)過(guò)(-2,-5)和(5,-12)兩點(diǎn).
(1)求此拋物線的解析式;
(2)設(shè)此拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于C 點(diǎn),D是線段BC上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合),若以B、O、D為頂點(diǎn)的三角形與△BAC相似,求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)P在y軸上,點(diǎn)M在此拋物線上,若要使以點(diǎn)P、M、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,請(qǐng)你直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,△ABC的A、B兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸上,頂點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上.已知|OA|:|OB|=1:5,|OB|=|OC|,△ABC的面積S△ABC=15,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn).
(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上異于點(diǎn)B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)F作FG垂直于x軸于點(diǎn)G,再過(guò)點(diǎn)E作EH垂直于x軸于點(diǎn)H,得到矩形EFGH.則在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,當(dāng)矩形EFGH為正方形時(shí),求出該正方形的邊長(zhǎng);
(3)在拋物線上是否存在異于B、C的點(diǎn)M,使△MBC中BC邊上的高為7
2
?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A(2,-2),B(0,-2),在坐標(biāo)平面中確定點(diǎn)P,使△AOP與△AOB相似,則符合條件的點(diǎn)P共有
5
5
個(gè).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(2,1)、B(4,1)、C(1,3).與△ABC與△ABD全等,則點(diǎn)D坐標(biāo)為
(1,-1),(5,3)或(5,-1)
(1,-1),(5,3)或(5,-1)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案