Question

【題目】如圖，將矩形ABCD置于平面直角坐標(biāo)系中，其中AD邊在x軸上，AB=2，直線MN：y=x﹣4沿x軸的負(fù)方向以每秒1個單位的長度平移，設(shè)在平移過程中該直線被矩形ABCD的邊截得的線段長度為m，平移時(shí)間為t，m與t的函數(shù)圖象如圖2所示．

（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為　　，矩形ABCD的面積為　　；

（2）求a，b的值；

（3）在平移過程中，求直線MN掃過矩形ABCD的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（1，0），8　；（2）a＝a=2，b＝9；（3）S=．

【解析】

（1）根據(jù)直線解析式求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，然后根據(jù)函數(shù)圖象可知直線平移3個單位后經(jīng)過點(diǎn)A，從而求的點(diǎn)A的坐標(biāo)，由點(diǎn)F的橫坐標(biāo)可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而可求得AD的長，據(jù)此可求得ABCD的面積；

（2）如圖1所示；當(dāng)直線MN經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，直線MN交DA于點(diǎn)E，首先求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后利用勾股定理可求得BE的長，從而得到a的值；如圖2所示，當(dāng)直線MN經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，直線MN交x軸于點(diǎn)F，求得直線MN與x軸交點(diǎn)F的坐標(biāo)從而可求得b的值；

（3）當(dāng)0≤t＜3時(shí)，直線MN與矩形沒有交點(diǎn)；當(dāng)3≤t＜5時(shí)，如圖3所示S=△EFA的面積；當(dāng)5≤t＜7時(shí)，如圖4所示：S=SBEFG+SABG；當(dāng)7≤t≤9時(shí)，如圖5所示．S=SABCD﹣SCEF．

解：（1）令直線y=x﹣4的y=0得：x﹣4=0，解得：x=4，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，0）．

由函數(shù)圖象可知：當(dāng)t=3時(shí)，直線MN經(jīng)過點(diǎn)A，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）

沿x軸的負(fù)方向平移3個單位后與矩形ABCD相交于點(diǎn)A，

∵y=x﹣4沿x軸的負(fù)方向平移3個單位后直線的解析式是：y=x+3﹣4=x﹣1，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為 （1，0）；

由函數(shù)圖象可知：當(dāng)t=7時(shí)，直線MN經(jīng)過點(diǎn)D，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣3，0）．

∴AD=4．

∴矩形ABCD的面積=ABAD=4×2=8．

（2）如圖1所示；當(dāng)直線MN經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，直線MN交DA于點(diǎn)E．

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2）

設(shè)直線MN的解析式為y=x+c，

將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得；1+c=2．

∴c=1．

∴直線MN的解析式為y=x+1．

將y=0代入得：x+1=0，解得x=﹣1，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣1，0）．

∴BE=．

∴a=2

如圖2所示，當(dāng)直線MN經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，直線MN交x軸于點(diǎn)F．

∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣3，0），

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣3，2）．

設(shè)MN的解析式為y=x+d，將（﹣3，2）代入得：﹣3+d=2，解得d=5．

∴直線MN的解析式為y=x+5．

將y=0代入得x+5=0，解得x=﹣5．

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣5，0）．

∴b=4﹣（﹣5）=9．

（3）當(dāng)0≤t＜3時(shí)，直線MN與矩形沒有交點(diǎn)．

∴s=0．

當(dāng)3≤t＜5時(shí)，如圖3所示；

S=；

當(dāng)5≤t＜7時(shí)，如圖4所示：過點(diǎn)B作BG∥MN．

由（2）可知點(diǎn)G的坐標(biāo)為（﹣1，0）．

∴FG=t﹣5．

∴S=SBEFG+SABG=2（t﹣5）+=2t﹣8．

當(dāng)7≤t≤9時(shí)，如圖5所示．

FD=t﹣7，CF=2﹣DF=2﹣（t﹣7）=9﹣t．

S=SABCD﹣SCEF=．

綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=