Question

已知：a、b、c分別是△ABC的∠A、∠B、∠C的對(duì)邊（a＞b）．二次函數(shù)y=（x-2a）x-2b（x-a）+c²的圖象的頂點(diǎn)在x軸上，且sinA、sinB是關(guān)于x的方程（m+5）x²-（2m-5）x+m-8=0的兩個(gè)根．
（1）判斷△ABC的形狀，關(guān)說明理由；
（2）求m的值；
（3）若這個(gè)三角形的外接圓面積為25π，求△ABC的內(nèi)接正方形（四個(gè)頂點(diǎn)都在三角形三邊上）的邊長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）△ABC是直角三角形，理由如下：
將y=（x-2a）x-2b（x-a）+c²化簡(jiǎn)，整理得：y=x²-2（a+b）x+2ab+c²，
∵此函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在x軸上，
∴=0，
整理，得a²+b²=c²，
∴△ABC是直角三角形；

（2）∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴sinB=cosA，
∴sinA、cosA是關(guān)于x的方程（m+5）x²-（2m-5）x+m-8=0的兩個(gè)根，
∴，
又∵sin²A+cos²A=1，
∴（sinA+cosA）²-2sinA•cosA=1，
∴（）²-2×=1，
整理，得m²-24m+80=0，
解得m₁=20，m₂=4．
經(jīng)檢驗(yàn)，m₁=20，m₂=4都是原方程的根，
但是，當(dāng)m₁=20時(shí)，sinA+cosA＞0，sinA•cosA＞0，
當(dāng)m₂=4時(shí)，sinA+cosA＞0，sinA•cosA＜0，舍去，
∴m=20；

（3）∵△ABC的外接圓面積為25π，
∴外接圓半徑R=5，
∴斜邊c=10．
當(dāng)m=20時(shí)，原方程變?yōu)?5x²-35x+12=0，
解得x₁=，x₂=，
∴a=8，b=6．
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x．
圖1中，由EF：BC=AF：AC，得x：8=（6-x）：6，
解得x=；
圖2中，CH=，
CK：CH=DG：AB，（-x）：=x：10，
解得x=．
綜上可知，△ABC的內(nèi)接正方形（四個(gè)頂點(diǎn)都在三角形三邊上）的邊長(zhǎng)為或．
分析：（1）先由二次函數(shù)y=（x-2a）x-2b（x-a）+c²的圖象的頂點(diǎn)在x軸上，得到判別式△=0，進(jìn)而得到a²+b²=c²，再根據(jù)勾股定理的逆定理即可判定△ABC是直角三角形；
（2）先利用互余兩角三角函數(shù)之間的關(guān)系得到sinB=cosA，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到，然后利用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系求得m的值；
（3）先由圓的面積公式求出△ABC的外接圓半徑R=5，則斜邊c=10，再將m=20代入方程（m+5）x²-（2m-5）x+m-8=0，
得到25x²-35x+12=0，解方程求出x的值，進(jìn)而求得a=8，b=6．當(dāng)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在△ABC的三邊上時(shí)，分兩種情況進(jìn)行討論：①如圖1，正方形CDEF有兩條邊在△ABC的直角邊上；②如圖2，正方形DEFG有一條邊在△ABC的斜邊上．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，互余兩角、同角的三角函數(shù)之間的關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．