Question

如圖，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E為AB上一點，AE=1，M為射線AD上一動點，AM=a（a為大于0的常數），直線EM與直線CD交于點F，過點M作MG⊥EM，交直線BC于G．

（1）若M為邊AD中點，求證：△EFG是等腰三角形；

（2）若點G與點C重合，求線段MG的長；

（3）請用含a的代數式表示△EFG的面積S，并指出S的最小整數值．

Answer 1

長度，然后用含a的代數式表示△EFG的面積S，指出S的最小整數值．

又∵∠MCD+∠MFD=90°，∠AME+∠AEM=90°，∴∠AME=∠MCD.

∵∠MAE=∠CDM=90°，∴△MAE∽△CDM. ∴，即，解得a=1或3.

代入CM=得CM=或.

∵點G與點C重合，∴MG=或.

（3）①當點M在AD上時，如答圖2，過點M作MN⊥BC交BC于點N，

∵AB=3，AD=4，AE=1，AM=a�！�，MD=AD-AM=4-a.

∵∠A=∠MDF=90°，∠AME=∠DMF，∴△MAE∽△MDF. ∴，即.

∴.∴.

∵AD∥BC，∴∠MGN=∠DMG.

∵∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠DMG=90°，∴∠AME=∠DMG. ∴∠MGN=∠AME.

②當點M在AD的延長線上時，如圖3，過點M作MN⊥BC，交BC延長線于點N，

∵AB=3，AD=4，AE=1，AM=a，∴，MD=a-4.

∵DC∥AB，∴△MAE∽△MDF.∴，即.∴.

∴.

考點：1.單動點問題；2.矩形的性質；3.全等三角形的判定和性質；4. 等腰三角形的判定和；5.勾股定理；6.相似三角形的判定和性質；7.分類思想的應用.