Question

如圖所示：AM∥DN，AE、DE分別平分∠MAD和∠AND，并交于E點(diǎn)．過點(diǎn)E的直線分別交AM、DN于B、C．
（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)B、C分別位于點(diǎn)AD的同側(cè)時(shí)，猜想AD、AB、CD之間的存在的數(shù)量關(guān)系：

AD=AB+CD

．
（2）試證明你的猜想．
（3）若點(diǎn)B、C分別位于點(diǎn)AD的兩側(cè)時(shí)，試寫出AD、AB、CD之間的關(guān)系，并選擇一個(gè)寫出證明過程．

Answer 1

分析：（1）從圖中可猜測AD=AB+CD．
（2）通過添加輔助線EF，構(gòu)建全等三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判定△ABE≌△AFE，進(jìn)而證明AD=AB+CD．
（3）當(dāng)點(diǎn)B位于點(diǎn)A左側(cè)，點(diǎn)C位于點(diǎn)D右側(cè)時(shí)，DC=AD+AB；當(dāng)點(diǎn)B位于點(diǎn)A右側(cè)，點(diǎn)C位于點(diǎn)D左側(cè)時(shí)，AB=AD+CD．

解答：解：（1）AD=AB+CD；

（2）證明：在AD上截取AF=AB，連接EF．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠FAE．
在△ABE和△AFE中，
AB=AF，∠BAE=∠FAE，AE=AE，
∴△ABE≌△AFE，
∴∠ABC=∠AFE．
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
又∵∠AFE+∠DFE=180°，
∴∠DFE=∠BCD．
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE．
在△FDE和△CDE中，
∠DFE=∠DCE，∠ADE=∠CDE，DE=DE，
∴△FDE≌△CDE，
∴DF=CD，
∴AF+DF=AB+CD．
即AD=AB+CD；

（3）證明：
第一種情況：當(dāng)點(diǎn)B位于點(diǎn)A左側(cè)，點(diǎn)C位于點(diǎn)D右側(cè)時(shí)，DC=AD+AB．
在CD上截取DF=AD，連接EF．
∵DE平分∠ADC 
∴∠ADE=∠CDE
在△ADE和△FDE中，
DA=DF，∠ADE=∠CDE，DE=DE，
∴△ADE≌△FDE．
∴EA=EF，∠DAE=∠DFE．
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠EAM，
∴∠DFE=∠EAM，
又∵∠BAE+∠EAM=180°，∠DFE+∠CFE=180°，
∴∠BAE=∠CFE．
∵AM∥DN，
∴∠ABC=∠BCD．
在△BAE和△CFE中，
∠BAE=∠CFE，∠ABC=∠BCD，EA=EF，
∴△BAE≌△CFE，
∴AB=FC．
∵DC=DF+FC，
∴DC=AD+AB；
第二種情況：當(dāng)點(diǎn)B位于點(diǎn)A右側(cè)，點(diǎn)C位于點(diǎn)D左側(cè)時(shí)，AB=AD+CD．
在AB上截取AF=AD，連接EF．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE．
在△ADE和△AEF中，
AF=AD，∠BAE=∠DAE，AE=AE，
∴△AEF≌△AED，
∴EF=ED，
∴∠AFE=∠ADE．
∵DE平分∠ADN，
∴∠ADE=∠EDN，
∴∠AFE=∠EDN，
又∵∠AFE+∠BFE=180°，∠EDN+∠EDC=180°，
∴∠BFE=∠EDC．
∵AM∥DN，
∴∠ABC=∠BCD．
在△BEF和△CED中，
∠BFE=∠EDC，∠ABC=∠BCD，DE=EF，
∴△BFE≌△CDE，
∴CD=BF．
∵AB=AF+FB，
∴AB=AD+CD．

點(diǎn)評：本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是添加好輔助線，構(gòu)建好對應(yīng)全等三角形，使問題得以解決．