Question

如圖，⊙M與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸切于點(diǎn)C，且OA，OB的長(zhǎng)是方程x²-4x+3=0的解．
（1）求M點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）若P是⊙M上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不包括A、B兩點(diǎn)），求∠APB的度數(shù)．
（3）若D是劣弧的中點(diǎn)，當(dāng)∠PAD等于多少度時(shí)，四邊形PADB是梯形？說(shuō)明你的理由．

Answer 1

解：（1）解方程x²-4x+3=0得x₁=1，x₂=3，
∴OA=1，OB=3，
作圖ME⊥x軸，垂足為E，則E平分AB，
∴E（2，0），即M得橫坐標(biāo)為2，
故可得MA=MC=R=2，
在Rt△AEM中，ME=，
∴M（2，）

（2）連接MA，MB，由MA=MB=AB=2知△MAB是等邊三角形
∴∠AMB=60°
當(dāng)P時(shí)優(yōu)弧上的點(diǎn)時(shí)，
當(dāng)P時(shí)劣弧上的點(diǎn)時(shí)，

（3）若梯形PADB中PA∥BD
則∠PAD+∠ADB=180°由（2）可知∠ADB=150°
∴∠PAD=30°
若梯形PADB中PB∥AD，則∠PAD+∠APD=180°，由（2）可知∠APB=30°
∴∠PAD=150°．
分析：（1）解方程x²-4x+3=0得x₁=1，x₂=3，則OA=1，OB=3，作圖ME⊥x軸，垂足為E，則E平分AB，Rt△AEM中，ME=而求得點(diǎn)M．
（2）連接MA，MB，由MA=MB=AB=2知△MAB是正方形得到∠AMB=60°，
當(dāng)P時(shí)優(yōu)弧上的點(diǎn)時(shí)，當(dāng)P時(shí)劣弧上的點(diǎn)時(shí)，得到結(jié)果．
（3）若梯形PADB中PA∥BD，則∠PAD+∠ADB=180°由（2）可知∠ADB=150°，得到∠PAD=30°，若梯形PADB中PB∥AD，則∠PAD+∠APD=180°由（2）可知∠APB=30°而解得．
點(diǎn)評(píng)：此題綜合運(yùn)用了相交弦定理、垂徑定理，由方程求得點(diǎn)的坐標(biāo)，在正方形中，梯形中來(lái)計(jì)算弦，以及相關(guān)角度．