Question

【題目】已知拋物線y=3ax2+2bx+c
（1）若a=b=1，c=﹣1求該拋物線與x軸的交點坐標；
（2）若a= ，c=2+b且拋物線在﹣2≤x≤2區(qū)間上的最小值是﹣3，求b的值；
（3）若a+b+c=1，是否存在實數x，使得相應的y的值為1，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當a=b=1，c=﹣1時，拋物線為：y=3x2+2x﹣1，

∵方程3x2+2x﹣1=0的兩個根為：x1=﹣1，x2= ．

∴該拋物線與x軸公共點的坐標是：（﹣1，0）和（ ，0）

（2）

解：a= ，c﹣b=2，則拋物線可化為：y=x2+2bx+b+2，

其對稱軸為：x=﹣b，

當x=﹣b＜﹣2時，即b＞2，則有拋物線在x=﹣2時取最小值為﹣3，

此時﹣3=（﹣2）2+2×（﹣2）b+b+2，

解得：b=3，符合題意，

當x=﹣b＞2時，即b＜﹣2，則有拋物線在x=2時取最小值為﹣3，此時﹣3=22+2×2b+b+2，

解得：b=﹣ ，不合題意，舍去．

當﹣2≤﹣b≤2時，即﹣2≤b≤2，則有拋物線在x=﹣b時，取最小值為﹣3，

此時﹣3=（﹣b）2+2×（﹣b）b+b+2，

化簡得：b2﹣b﹣5=0，

解得：b1= （不合題意，舍去），b2= ．

綜上：b=3或b=

（3）

解：由y=1得3ax2+2bx+c=1，

△=4b2﹣12a（c﹣1），

=4b2﹣12a（﹣a﹣b），

=4b2+12ab+12a2，

=4（b2+3ab+3a2），

=4[（b+ a）2+ a2]，

∵a≠0，△＞0，

所以方程3ax2+2bx+c=1有兩個不相等實數根，

即存在兩個不同實數x0，使得相應y=1

【解析】（1）直接將a=b=1，c=﹣1代入求出即可；（2）利用當x=﹣b＜﹣2時，即b＞2，此時﹣3=（﹣2）2+2×（﹣2）b+b+2；當x=﹣b＞2時，即b＜﹣2，則有拋物線在x=2時取最小值為﹣3，此時﹣3=22+2×2b+b+2；當﹣2≤﹣b≤2時，即﹣2≤b≤2，則有拋物線在x=﹣b時，取最小值為﹣3，分別求出符合題意的答案即可；（3）由y=1得3ax2+2bx+c=1，則△=4b2﹣12a（c﹣1），求出△的符號得出答案即可．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．