Question

已知：A（m，2）是一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=

3

x

（x＞0）的交點(diǎn)．
（1）求m的值；
（2）若該一次曲線的圖象分別與x、y軸交于E、F兩點(diǎn)，且點(diǎn)A恰為E、F的中點(diǎn)，求該直線的解析式；
（3）在y=

3

x

（x＞0）的圖象上另取一點(diǎn)B，作BK⊥x軸于K，在（2）的條件下，在線段OF上取一點(diǎn)C，使FO=4CO．試問(wèn)：在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PCA和△PBK的面積相等？若存在，求出所有可能的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)A的橫縱坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式即可求得m的值；
（2）由A點(diǎn)向兩坐標(biāo)軸作垂線，利用相似三角形的性質(zhì)求得點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式即可；
（3）設(shè)出B的坐標(biāo)，利用CO和FO的關(guān)系求得C點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用兩三角形面積相等得到有關(guān)y的關(guān)系式求得y的值即可作為P點(diǎn)的縱坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵A（m，2）是一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=

3

x

的交點(diǎn)
∴2=

3

m

，
∴m=

3

2

；

（2）由（1）得A（

3

2

，2），
∴2=

3

2

k+b，
   由題意可知：A是線段EF的中點(diǎn)，且E（-

b

k

，0）F（0，b）則：
   A（-

b

2k

，

b

2

），
∴

b

2

=2即b=4，
∴k=-

4

3

，
∴一次函數(shù)y=kx+b的解析式為：y=-

4x

3

+4；

（3）由題意知：B、F坐標(biāo)分別為（k，

3

k

），（0，4），
    又4CO=FO，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，y），則S_△PCA=

1

2

×

3

2

|y-1|；
又BK⊥x軸于k，S_△PBK=

1

2

×k×

3

k

；
∵S_△PCA=S_△PBK，
∴

1

2

|y-1|

3

2

=

1

2

×

3

k

×k，
∴y=-1或3．
即存在點(diǎn)P且P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1）或（0，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的與反比例函數(shù)的綜合知識(shí)，特別是題目中的存在性問(wèn)題更是近幾年中考的重點(diǎn)考題．