Question

如圖，以等腰三角形ABC的一腰AB為直徑的⊙O交BC于D，過(guò)D作DE⊥AC于E．求證：DE是⊙O的切線．

Answer 1

分析：連接OD，根據(jù)三角形的中位線定理得到OD∥AC，結(jié)合DE⊥AC得到OD⊥DE，從而證明結(jié)論．

解答：證明：如圖，連接OD．
∵AB為⊙O的直徑，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴BD=CD；
∵OA=OB，BD=CD，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
又DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE為⊙O的切線．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合運(yùn)用了圓周角定理的推論，即直徑所對(duì)的圓周角是直角；等腰三角形的性質(zhì)，即等腰三角形底邊上的高也是底邊上的中線；三角形的中位線定理以及平行線的性質(zhì)；切線的判定，即經(jīng)過(guò)半徑的外端，且垂直于半徑的直線是圓的切線．
注意：構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角和連接過(guò)切點(diǎn)的半徑是圓中常見的輔助線之一．