Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點(diǎn)P（x，y），如果點(diǎn)Q（x，y′）的縱坐標(biāo)滿足y′＝，那么稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．

（1）請直接寫出點(diǎn)（3，5）的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的坐標(biāo)　 　；

（2）如果點(diǎn)P在函數(shù)y＝x﹣2的圖象上，其“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”Q與點(diǎn)P重合，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如果點(diǎn)M（m，n）的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”N在函數(shù)y＝2x2的圖象上，當(dāng)0≤m≤2時(shí)，求線段MN的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（3，2）；（2）（4，2）；（3）當(dāng)m≥n時(shí)，線段MN的最大值是14；當(dāng)m＜n時(shí)，線段MN的最大值是2．

【解析】

（1）根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義，可得答案；

（2）根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義，可得Q點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在函數(shù)圖象上，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案；

（3）根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義，可得N的坐標(biāo)，根據(jù)平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.

解：（1）∵3＜5，根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義，y′＝5﹣3＝2，

∴點(diǎn)（3，5）的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的坐標(biāo)（3，2），

故答案為：（3，2）；

（2）∵點(diǎn)P在函數(shù)y＝x﹣2的圖象上，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x﹣2）．

∵x＞x﹣2，根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，2）．

又∵點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合，

∴x﹣2＝2，解得x＝4，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（4，2）；

（3）點(diǎn)M（m，n）的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”N，由關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義，得

第一種情況：當(dāng)m≥n時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，m﹣n），

∵N在函數(shù)y＝2x2的圖象上，

∴m﹣n＝2m2，n＝﹣2m2+m，即yM＝﹣2m2+m，yN＝2m2，

∴MN＝|yM﹣yN|＝|﹣4m2+m|，

①當(dāng)0≤m≤，﹣4m2+m≥0，

MN＝﹣4m2+m＝﹣4（m﹣）2+，

∴當(dāng)m＝時(shí)，線段MN的最大值是；

②當(dāng)＜m≤2時(shí)，﹣4m2+m＜0，

MN＝4m2﹣m＝4（m﹣）2﹣，當(dāng)m＝2時(shí)，線段MN的最大值是14；

第二種情況：當(dāng)m＜n時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，n﹣m），

∵N在函數(shù)y＝2x2的圖象上，

∴n﹣m＝2m2，即n＝2m2+m，

∴yM＝2m2+m，yN＝2m2，

∴MN＝|yM﹣yN|＝|m|，

∵0≤m≤2，

∴MN＝m，

∴當(dāng)m＝2時(shí)，線段MN的最大值是2；

綜上所述：當(dāng)m≥n時(shí)，線段MN的最大值是14；當(dāng)m＜n時(shí)，線段MN的最大值是2．