Question

如圖，已知直線l₁的解析式為y=3x+6，直線l₁與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，直線l₂經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（8，0），點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C沿△BOC的三邊按逆時針方向以每秒1個單位長度的速度運(yùn)動一周，設(shè)移動時間為t秒
（1）求直線l₂的解析式；
（2）設(shè)△DCQ的面積為S，請求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；
（3）試探究：點(diǎn)P在x軸上以每秒1個單位長度的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動，若點(diǎn)P與點(diǎn)Q同時出發(fā)，當(dāng)其中一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，t為何值時，以點(diǎn)P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似．

Answer 1

分析：（1）利用已知得出B，C點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)當(dāng)0＜t≤10時以及當(dāng)10＜t＜16時，分別求出QE的長即可得出答案；
（3）根據(jù)當(dāng)過點(diǎn)P作PQ⊥BC于點(diǎn)Q時，當(dāng)QP⊥OC于點(diǎn)C時，分別利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出t的值即可．

解答：解：（1）由題意，知B（0，6），C（8，0），
設(shè)直線l₂的解析式為y=kx+b，則

8k+b=0 b=6

，
解得：

k=- 3 4 b=6

，
故l₂的解析式為：y=-

3

4

x+6；

（2）如圖1，過點(diǎn)Q作QE⊥OC于點(diǎn)E，
當(dāng)0＜t≤10時，
∵QE⊥CO，
∴∠QEC=90°，
∴BO∥QE，
∴△CBO∽△CQE，
∴

OB

QE

=

BC

QC

，
∵BO=6，CO=8，
∴BC=

62+82

=10，
QC=t，
∴

6

QE

=

10

t

，
解得：QE=

3

5

t，
∵直線l₁的解析式為y=3x+6，直線l₁與x軸相交于A點(diǎn)，
∴x=-2，
∴AO=2，則AC=2+8=10，即DC=5，
∴△DCQ的面積為：S=

1

2

×5×

3

5

t=

3

2

t，
如圖2，當(dāng)10＜t＜16時，
∵QO=16-t，DC=5，
∴△DCQ的面積為：S=

1

2

×5×（16-t）=-

5

2

t+40；

（3）如圖3，當(dāng)過點(diǎn)P作PQ⊥BC于點(diǎn)Q時，
∵∠PQC=90°，∠BOC=90°，∠QCP=OCB，
∴△BOC∽△PQC，
∴

QC

CO

=

PC

BC

，
∴

t

8

=

10-t

10

，
解得：t=

40

9

，
如圖4，當(dāng)QP⊥OC于點(diǎn)C時，
∵QP⊥CO，BO⊥CO，
∴QP∥BO，
∴△QPC∽△BOC，
∴

QC

BC

=

PC

CO

，
∴

t

10

=

10-t

8

，
解得：t=

50

9

，
綜上所述：當(dāng)t=

40

9

，

50

9

時，以點(diǎn)P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似．

點(diǎn)評：此題主要考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)和待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論得出是解題關(guān)鍵．