【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,我們不妨將橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱之為湘一點(diǎn)”.

(1)求函數(shù)y=x-3的圖象上所有湘一點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)若直線y=mx+mm為常數(shù))與直線y=x-2的交點(diǎn)為湘一點(diǎn),試求出整數(shù)m的值.

(3)若直線y=-x+b、直線y=3、直線y=x+2所圍成的平面圖形中(不含邊界)共有6個(gè)湘一點(diǎn),試求出常數(shù)b的取值范圍.

【答案】(1)函數(shù)y=x-3的圖象上湘一點(diǎn)的坐標(biāo)是(0,-3);(2)m=0m=2;(3)10<b≤12-4≤b<-2

【解析】

(1)根據(jù)題意和湘一點(diǎn)的定義可以解答本題;

(2)將兩個(gè)一次函數(shù)聯(lián)立方程組,解方程組,再根據(jù)整點(diǎn)的條件分析討論;

(3)畫出圖形,利用特殊點(diǎn)解決問(wèn)題即可;

(1)x是整數(shù),x≠0時(shí),x是一個(gè)無(wú)理數(shù),

x≠0時(shí),x-3不是整數(shù),

x=0,y=-3,

即函數(shù)y=x-3的圖象上湘一點(diǎn)的坐標(biāo)是(0,-3);

(2)解,得x=-1-,

∵交點(diǎn)為湘一點(diǎn),且m為整數(shù),

m=0m=2,

(3)如圖,當(dāng)直線y=-x+b經(jīng)過(guò)A(5,7)時(shí),b=12,

當(dāng)直線y=-x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(4,6)時(shí),b=10.

當(dāng)直線y=-x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(-2,0)時(shí),b=-2.

當(dāng)直線y=-x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)D(-3,-1)時(shí),b=-4.

觀察圖象可知:直線y=-x+b、直線y=3、直線y=x+2所圍成的平面圖形中(不含邊界)共有6個(gè)湘一點(diǎn),常數(shù)b的取值范圍10<b≤12-4≤b<-2.

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