Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，△ABC的邊BC在y軸的正半軸上，點A在x軸的正半軸上，點C的坐標(biāo)為（0，8），將△ABC沿直線AB折疊，點C落在x軸的負(fù)半軸D（﹣4，0）處．

（1）求直線AB的解析式；
（2）點P從點A出發(fā)以每秒4 個單位長度的速度沿射線AB方向運(yùn)動，過點P作PQ⊥AB，交x軸于點Q，PR∥AC交x軸于點R，設(shè)點P運(yùn)動時間為t（秒），線段QR長為d，求d與t的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；

（3）在（2）的條件下，點N是射線AB上一點，以點N為圓心，同時經(jīng)過R、Q兩點作⊙N，⊙N交y軸于點E，F(xiàn)．是否存在t，使得EF=RQ？若存在，求出t的值，并求出圓心N的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵C（0，8），D（﹣4，0），

∴OC=8，OD=4，

設(shè)OB=a，則BC=8﹣a，

由折疊的性質(zhì)可得：BD=BC=8﹣a，

在Rt△BOD中，∠BOD=90°，DB2=OB2+OD2，

則（8﹣a）2=a2+42，

解得：a=3，

則OB=3，

則B（0，3），

tan∠ODB= = ，

由折疊的性質(zhì)得：∠ADB=∠ACB，

則tan∠ACB=tan∠ODB= ，

在Rt△AOC中，∠AOC=90°，tan∠ACB= = ，

則OA=6，

則A（6，0），

設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，

則 ，

解得： ，

故直線AB的解析式為：y=﹣ x+3

（2）

解：在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OB=3，OA=6，

則AB= =3 ，tan∠BAO= = ，cos∠BAO= = ，

在Rt△PQA中，∠APQ=90°，AP=4 t，

則AQ= =10t，

∵PR∥AC，

∴∠APR=∠CAB，

由折疊的性質(zhì)得：∠BAO=∠CAB，

∴∠BAO=∠APR，

∴PR=AR，

∵∠RAP+∠PQA=∠APR+∠QPR=90°，

∴∠PQA=∠QPR，

∴RP=RQ，

∴RQ=AR，

∴QR= AQ=5t，

即d=5t；

（3）

解：過點分別作NT⊥RQ于T，NS⊥EF于S，

∵EF=QR，

∴NS=NT，

∴四邊形NTOS是正方形，

則TQ=TR= QR= t，

∴NT= AT= （AQ﹣TQ）= （10t﹣ t）= t，

分兩種情況，

若點N在第二象限，則設(shè)N（n，﹣n），

點N在直線y=﹣ x+3上，

則﹣n=﹣ n+3，

解得：n=﹣6，

故N（﹣6，6），NT=6，

即 t=6，

解得：t= ；

若點N在第一象限，設(shè)N（N，N），

可得：n=﹣ n+3，

解得：n=2，

故N（2，2），NT=2，

即 t=2，

解得：t= ．

故當(dāng)t= 或t= 時，QR=EF，N（﹣6，6）或（2，2）．

【解析】（1）由C（0，8），D（﹣4，0），可求得OC，OD的長，然后設(shè)OB=a，則BC=8﹣a，在Rt△BOD中，由勾股定理可得方程：（8﹣a）2=a2+42 ， 解此方程即可求得B的坐標(biāo)，然后由三角函數(shù)的求得點A的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求得直線AB的解析式；（2）在Rt△AOB中，由勾股定理可求得AB的長，繼而求得∠BAO的正切與余弦，由PR∥AC與折疊的性質(zhì)，易證得RQ=AR，則可求得d與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）首先過點分別作NT⊥RQ于T，NS⊥EF于S，易證得四邊形NTOS是正方形，然后分別從點N在第二象限與點N在第一象限去分析求解即可求得答案．