Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常數(shù)，且a＞0，m＞0）的圖象與x軸分別交于點A、B（點A位于點B的左側(cè)），與y軸交于C（0，﹣3），點D在二次函數(shù)的圖象上，CD∥AB，連接AD，過點A作射線AE交二次函數(shù)的圖象于點E，AB平分∠DAE．

（1）用含m的代數(shù)式表示a；
（2）求證： 為定值；
（3）設(shè)該二次函數(shù)圖象的頂點為F，探索：在x軸的負(fù)半軸上是否存在點G，連接GF，以線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一個滿足要求的點G即可，并用含m的代數(shù)式表示該點的橫坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將C（0，﹣3）代入二次函數(shù)y=a（x2﹣2mx﹣3m2），

則﹣3=a（0﹣0﹣3m2），

解得 a= ．

（2）

方法一：

證明：如圖1，過點D、E分別作x軸的垂線，垂足為M、N．

由a（x2﹣2mx﹣3m2）=0，

解得 x1=﹣m，x2=3m，

則 A（﹣m，0），B（3m，0）．

∵CD∥AB，

∴D點的縱坐標(biāo)為﹣3，

又∵D點在拋物線上，

∴將D點縱坐標(biāo)代入拋物線方程得D點的坐標(biāo)為（2m，﹣3）．

∵AB平分∠DAE，

∴∠DAM=∠EAN，

∵∠DMA=∠ENA=90°，

∴△ADM∽△AEN．

∴ = = ．

設(shè)E坐標(biāo)為（x， ），

∴ = ，

∴x=4m，

∴E（4m，5），

∵AM=AO+OM=m+2m=3m，AN=AO+ON=m+4m=5m，

∴ = = ，即為定值．

方法二：

過點D、E分別作x軸的垂線，垂足為M、N，

∵a（x2﹣2mx﹣3m2）=0，

∴x1=﹣m，x2=3m，

則A（﹣m，0），B（3m，0），

∵CD∥AB，∴D點的縱坐標(biāo)為﹣3，∴D（2m，﹣3），

∵AB平分∠DAE，∴KAD+KAE=0，

∵A（﹣m，0），D（2m，﹣3），

∴KAD= =﹣ ，∴KAE= ，

∴ x2﹣3mx﹣4m2=0，

∴x1=﹣m（舍），x2=4m，∴E（4m，5），

∵∠DAM=∠EAN=90°

∴△ADM∽△AEN，

∴ ，

∵DM=3，EN=5，

∴ ．

（3）

解：如圖2，記二次函數(shù)圖象頂點為F，則F的坐標(biāo)為（m，﹣4），過點F作FH⊥x軸于點H．

連接FC并延長，與x軸負(fù)半軸交于一點，此點即為所求的點G．

∵tan∠CGO= ，tan∠FGH= ，

∴ = ，

∴ ，

∵OC=3，HF=4，OH=m，

∴OG=3m．

∵GF= = =4 ，

AD= = =3 ，

∴ = ．

∵ = ，

∴AD：GF：AE=3：4：5，

∴以線段GF，AD，AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形，此時G點的橫坐標(biāo)為﹣3m

【解析】（1）由C在二次函數(shù)y=a（x2﹣2mx﹣3m2）上，則其橫縱坐標(biāo)必滿足方程，代入即可得到a與c的關(guān)系式．（2）求證 為定值，一般就是計算出AD、AE的值，然后相比．而求其長，過E、D作x軸的垂線段，進而通過設(shè)邊長，利用直角三角形性質(zhì)得方程求解，是求解此類問題的常規(guī)思路，如此易得定值．（3）要使線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形，且（2）中 = ，則可考慮若GF使得AD：GF：AE=3：4：5即可．由AD、AE、F點都易固定，且G在x軸的負(fù)半軸上，則易得G點大致位置，可連接CF并延長，證明上述比例AD：GF：AE=3：4：5即可．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點，以及對二次函數(shù)的性質(zhì)的理解，了解增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。�