(2012•市中區(qū)二模)(1)已知:如圖1,△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,D為AB邊上一點(diǎn).求證:△ACE≌△BCD
(2)某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂,維修人員為更換管道,需確定管道圓形截面的半徑,圖2是水平放置的破裂管道有水部分的截面.若這個(gè)輸水管道有水部分的水面寬AB=16cm,水面最深地方的高度為4cm,求這個(gè)圓形截面的半徑.
分析:(1)先根據(jù)∠ACB=∠DCE可得出∠BCD=∠ACE,由SAS定理可知△BCD≌△ACE;
(2)假設(shè)O為圓形截面所在圓的圓心過(guò)O作OC⊥AB于D,交AB于C,由垂徑定理可得出BD,CD的長(zhǎng),設(shè)半徑為xcm,在Rt△BOD利用勾股定理即可得出x的值.
解答:證明:(1)∵∠ACB=∠DCE,
∴∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠ACE,即∠BCD=∠ACE.
∵BC=AC,DC=EC,
∴△BCD≌△ACE.

(2)解:假設(shè)O為圓形截面所在圓的圓心過(guò)O作OC⊥AB于D,交AB于C,
∵OC⊥AB,
BD=
1
2
AB=
1
2
×16=8cm

由題意可知,CD=4cm. 
設(shè)半徑為xcm,則OD=(x-4)cm.
在Rt△BOD中,由勾股定理得:OD2+BD2=OB2,
∴(x-4)2+82=x2
∴x=10.即這個(gè)圓形截面的半徑為10cm.
點(diǎn)評(píng):本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用,全等三角形的判定定理及勾股定理,解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線,構(gòu)造出直角三角形,利用勾股定理求解.
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