Question

已知，△ABC是邊長3cm的等邊三角形．動(dòng)點(diǎn)P以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．
（1）如圖1，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），那么t=

 

（s）時(shí)，△PBC是直角三角形；
（2）如圖2，若另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，如果動(dòng)點(diǎn)P、Q都以1cm/s的速度同時(shí)出發(fā)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），那么t為何值時(shí)，△PBQ是直角三角形？
（3）如圖3，若另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線BC方向運(yùn)動(dòng)．連接PQ交AC于D．如果動(dòng)點(diǎn)P、Q都以1cm/s的速度同時(shí)出發(fā)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），那么t為何值時(shí)，△DCQ是等腰三角形？
（4）如圖4，若另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線BC方向運(yùn)動(dòng)．連接PQ交AC于D，連接PC．如果動(dòng)點(diǎn)P、Q都以1cm/s的速度同時(shí)出發(fā)．請你猜想：在點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)過程中，△PCD和△QCD的面積有什么關(guān)系？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)△PBC是直角三角形時(shí)，∠B=60°，所以BP=1.5cm，即可算出t的值；
（2）因?yàn)椤螧=60°，可選取∠BPQ=90°或∠BQP=90°，然后根據(jù)勾股定理計(jì)算出BP長，即可算出t的大小；
（3）因?yàn)椤螪CQ=120°，當(dāng)△DCQ是等腰三角形時(shí)，CD=CQ，然后可證明△APD是直角三角形，即可根據(jù)題意求出t的值；
（4）面積相等．可通過同底等高驗(yàn)證．

解答：解：（1）當(dāng)△PBC是直角三角形時(shí)，∠B=60°，
∠BPC=90°，所以BP=1.5cm，
所以t=

3

2

（2分）

（2）當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，BP=0.5BQ，
3-t=0.5t，所以t=2；
當(dāng)∠BQP=90°時(shí)，BP=2BQ，
3-t=2t，所以t=1；
所以t=1或2（s）（4分）

（3）因?yàn)椤螪CQ=120°，當(dāng)△DCQ是等腰三角形時(shí)，CD=CQ，
所以∠PDA=∠CDQ=∠CQD=30°，
又因?yàn)椤螦=60°，
所以AD=2AP，2t+t=3，
解得t=1（s）；（2分）

（4）相等，如圖所示：

作PE垂直AD，QG垂直AD延長線，則PE∥QG，
所以，∠G=∠AEP，
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

∠G=∠AEP ∠APE=∠CQG AP=CQ

，
所以△EAP≌△GCQ（AAS），
所以PE=QG，所以，△PCD和△QCD同底等高，所以面積相等．

點(diǎn)評：本題主要考查對于勾股定理的應(yīng)用和等腰三角形的判定，還要注意三角形面積的求法．