【題目】如圖,四邊形ABCD內(nèi)接與⊙O,AB=AC,ACBD,垂足為E,點FBD的延長線上,且DF=DC,連接AF、CF

1)若∠CAD=α,求∠BAC(用含α的代數(shù)式表示);

2)求證:CF是⊙O的切線。

【答案】1)∠BAC=2α;(2)見解析

【解析】

1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABC=ACB,根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到,即可得到∠ABC=ADB,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠ABC=180°-BAC=90°-BAC,∠ADB=90°-CAD,從而得到BAC=CAD,即可證得結(jié)論;

2)連接OAOC,設(shè)∠CAD=α,∠ABD=β,則可得∠AOC=2(α+β),從而可求出∠ACO=90°-α-β,由圓周角定理可得∠BDC=2α,因為DF=DC,所以∠DCF=DFC=α,可求得∠DCF+DCA+DCO=90°,從而可得結(jié)論.

1)∵AB=AC,

,∠ABC=ACB,

∴∠ABC=ADB,∠ABC=180°-BAC=90°-BAC,

BDAC,

∴∠ADB=90°-CAD,

BAC=CAD,

∴∠BAC=2CAD;

∵∠CAD=α,

∴∠BAC=2α;

2)連接OA,OC,設(shè)∠CAD=α,∠ABD=β,

∴∠ABC=α+β,∠ACD=β

∴∠AOC=2(α+β),

AO=OC

∴∠ACO=,

由(1)得∠BAC=2α,

∴∠BDC=2α

DF=DC

∴∠DFC=DCF,

∴∠DFC+DCF=2α,即∠DCF=α,

∵∠OCF=OCA+ACD+DCF=90°-α-β+β+α=90°,

OCFC,

CF是⊙O的切線.

練習(xí)冊系列答案
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