Question

如圖，已知直徑與等邊三角形ABC的高相等的圓AB和BC邊相切于點D和E，與AC邊相交于點F和G，求∠DEF的度數(shù)．

Answer 1

解：過點E作BC的垂線與圓交于點H，與AC交于點O．
連接AH和DH，作AM⊥BC，垂足為M．
∵E為切點，∴EH必過圓心，即EH是直徑，
∴DH⊥DE，
∵D、E是切點，∴BD=BE，
∵∠B=60°，∴△DBE是正三角形，
∴∠BDE=∠BAC=60°，
∴DE∥AC，DH⊥AC，
由已知得，AM=EH，又AM∥EH，∴四邊形AMEH是矩形，
∴AH⊥HE，即AH是切線，
∴AD=AH，AC垂直平分DH，AC必過圓心，
∴AC與EH的交點O是圓心，
∴OE=OF，
∵∠COE=90°-∠C=30°，∴∠OEF=75°，
∵∠DEO=∠EOC=30°，
∴∠DEF=30°+75°=105°
分析：先過點E作BC的垂線與圓交于點H，與AC交于點O，連接AH和DH，作AM⊥BC，垂足為M，再根據(jù)切線的判定和性質(zhì)得，△DBE是正三角形，從而得出四邊形AMEH是矩形，由矩形的性質(zhì)和切線長定理求出∠OEF=75°，∠DEO=∠EOC=30°，從而得出∠DEF的度數(shù)．
點評：本題考查了切線長定理、矩形的判定和性質(zhì)、切線的判定和性質(zhì)等知識，綜合性強，難度較大．