Question

（2012•包頭）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，點(diǎn)D在BC上，且CD=3cm，現(xiàn)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P以1厘米/秒的速度沿AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)P作PE∥BC交AD于點(diǎn)E，連接EQ．設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．
（1）連接DP，經(jīng)過(guò)1秒后，四邊形EQDP能夠成為平行四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）連接PQ，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，不論t取何值時(shí)，總有線段PQ與線段AB平行．為什么？
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△EDQ為直角三角形．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)點(diǎn)P以1厘米/秒的速度沿AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)求出1秒后AP及BQ的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出QD及的長(zhǎng)，再由PE∥BC可知

AP

AC

=

PE

CD

，故可得出PE=QD，由PE∥BC即可得出結(jié)論；
（2）先用t表示出PC及CQ的長(zhǎng)，再求出

PC

AC

=

CQ

BC

即可得出結(jié)論；
（3）分∠EQP=90°，∠QED=90°兩種情況，通過(guò)三角形相似，列出比例關(guān)系，求出t的值即可．

解答：解：（1）能，
如圖1，∵點(diǎn)P以1厘米/秒的速度沿AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，t=1秒，
∴AP=1厘米，BQ=1.25厘米，
∵AC=4cm，BC=5cm，點(diǎn)D在BC上，CD=3cm，
∴PC=AC-AP=4-1=3（厘米），QD=BC-BQ-CD=5-1.25-3=0.75（厘米），
∵PE∥BC，
∴

AP

AC

=

PE

CD

，

1

4

=

PE

3

，解得PE=0.75，
∵PE∥BC，PE=QD，
∴四邊形EQDP是平行四邊形；

（2）如圖2，∵點(diǎn)P以1厘米/秒的速度沿AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，
∴PC=AC-AP=4-t，QC=BC-BQ=5-1.25t，
∴

PC

AC

=

4-t

4

=1-

t

4

，

CQ

BC

=

5-1.25t

5

=1-

t

4

，
∴

PC

AC

=

CQ

BC

，
∴PQ∥AB；

（3）分兩種情況討論：
①如圖3，當(dāng)∠EQD=90°時(shí)，顯然有EQ=PC=4-t，
又∵EQ∥AC，
∴△EDQ∽△ADC
∴

EQ

AC

=

DQ

DC

，
∵BC=5厘米，CD=3厘米，
∴BD=2厘米，
∴DQ=1.25t-2，
∴

4-t

4

=

1.25t-2

3

，解得t=2.5（秒）；
②如圖4，當(dāng)∠QED=90°時(shí)，作EM⊥BC于M，CN⊥AD于N，則四邊形EMCP是矩形，EM=PC=4-t，
在Rt△ACD中，
∵AC=4厘米，CD=3厘米，
∴AD=

AC2+CD2

=

42+32

=5，
∴CN=

AC•CD

AD

=

12

5

，
∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，
∴△EDQ∽△CDA，
∴

DQ

AD

=

EQ

AC

=

EM

CN

，

1.25t-2

5

=

5(4-t)

12

，解得t=3.1（秒）．
綜上所述，當(dāng)t=2.5秒或t=3.1秒時(shí)，△EDQ為直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定定理及直角三角形的性質(zhì)，難度較大．