【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx﹣2經(jīng)過點(diǎn)A(4,0),B(1,0).
(1)求出拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)D是直線AC上方的拋物線上的一點(diǎn),求△DCA面積的最大值;
(3)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過P作PM⊥x軸,垂足為M,是否存在P點(diǎn),使得以A,P,M為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似?若存在,請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理.
【答案】(1)y=﹣x2+x﹣2;(2)當(dāng)t=2時(shí),△DAC面積最大為4;(3)符合條件的點(diǎn)P為(2,1)或(5,﹣2)或(﹣3,﹣14).
【解析】
(1)把A與B坐標(biāo)代入解析式求出a與b的值,即可確定出解析式;(2)如圖所示,過D作DE與y軸平行,三角形ACD面積等于DE與OA乘積的一半,表示出S與t的二次函數(shù)解析式,利用二次函數(shù)性質(zhì)求出S的最大值即可;(3)存在P點(diǎn),使得以A,P,M為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似,分當(dāng)1<m<4時(shí);當(dāng)m<1時(shí);當(dāng)m>4時(shí)三種情況求出點(diǎn)P坐標(biāo)即可.
(1)∵該拋物線過點(diǎn)A(4,0),B(1,0),
∴將A與B代入解析式得:,解得:,
則此拋物線的解析式為y=﹣x2+x﹣2;
(2)如圖,設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t(0<t<4),則D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣t2+t﹣2,
過D作y軸的平行線交AC于E,
由題意可求得直線AC的解析式為y=x﹣2,
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為(t,t﹣2),
∴DE=﹣t2+t﹣2﹣(t﹣2)=﹣t2+2t,
∴S△DAC=×(﹣t2+2t)×4=﹣t2+4t=﹣(t﹣2)2+4,
則當(dāng)t=2時(shí),△DAC面積最大為4;
(3)存在,如圖,
設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m,則P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣m2+m﹣2,
當(dāng)1<m<4時(shí),AM=4﹣m,PM=﹣m2+m﹣2,
又∵∠COA=∠PMA=90°,
∴①當(dāng)==2時(shí),△APM∽△ACO,即4﹣m=2(﹣m2+m﹣2),
解得:m=2或m=4(舍去),
此時(shí)P(2,1);
②當(dāng)==時(shí),△APM∽△CAO,即2(4﹣m)=﹣m2+m﹣2,
解得:m=4或m=5(均不合題意,舍去)
∴當(dāng)1<m<4時(shí),P(2,1);
類似地可求出當(dāng)m>4時(shí),P(5,﹣2);
當(dāng)m<1時(shí),P(﹣3,﹣14),
綜上所述,符合條件的點(diǎn)P為(2,1)或(5,﹣2)或(﹣3,﹣14).
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【題目】如圖,矩形ABCD中,對(duì)角線AC的垂直平分線EF分別交BC,AD于點(diǎn)E,F,若BE=3,AF=5,則AC的長為( )
A. B. C. 10D. 8
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【題目】已知:如圖,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,D,E分別為BC,AB邊上一點(diǎn),∠ADE=∠C.
(1)求證:△BDE∽△CAD;
(2)若CD=2,求BE的長.
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【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,下列說法:①2a+b=0,②當(dāng)﹣1≤x≤3時(shí),y<0;③3a+c=0;④若(x1,y1)(x2、y2)在函數(shù)圖象上,當(dāng)0<x1<x2時(shí),y1<y2,其中正確的是( 。
A. ①②④ B. ①③ C. ①②③ D. ①③④
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【題目】如圖,是邊延長線上一點(diǎn),連接,,,交于點(diǎn).添加以下條件,不能判定四邊形為平行四邊形的是( )
A. B.
C. D.
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【題目】如圖,△AOB是直角三角形,∠AOB=90°,OB=2OA,點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=的圖象上.若點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=的圖象上,則k的值為( )
A.-4 B.4 C.-2 D.2
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【題目】甲、乙兩名同學(xué)參加少年科技創(chuàng)新選拔賽,六次比賽的成績(jī)?nèi)缦拢?/span>
甲:87 93 88 93 89 90
乙:85 90 90 96 89
(1)甲同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)是__________;
(2)若甲、乙的平均成績(jī)相同,則__________;
(3)已知乙的方差是,如果要選派一名發(fā)揮穩(wěn)定的同學(xué)參加比賽,應(yīng)該選誰?說明理由.
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