Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣2經(jīng)過點(diǎn)A（4，0），B（1，0）．

（1）求出拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)D是直線AC上方的拋物線上的一點(diǎn)，求△DCA面積的最大值；

（3）P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在P點(diǎn)，使得以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x﹣2；（2）當(dāng)t=2時(shí)，△DAC面積最大為4；（3）符合條件的點(diǎn)P為（2，1）或（5，﹣2）或（﹣3，﹣14）．

【解析】

（1）把A與B坐標(biāo)代入解析式求出a與b的值，即可確定出解析式；（2）如圖所示，過D作DE與y軸平行，三角形ACD面積等于DE與OA乘積的一半，表示出S與t的二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)性質(zhì)求出S的最大值即可；（3）存在P點(diǎn)，使得以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似，分當(dāng)1＜m＜4時(shí)；當(dāng)m＜1時(shí)；當(dāng)m＞4時(shí)三種情況求出點(diǎn)P坐標(biāo)即可．

（1）∵該拋物線過點(diǎn)A（4，0），B（1，0），

∴將A與B代入解析式得：，解得：，

則此拋物線的解析式為y=﹣x2+x﹣2；

（2）如圖，設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜4），則D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣t2+t﹣2，

過D作y軸的平行線交AC于E，

由題意可求得直線AC的解析式為y=x﹣2，

∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，t﹣2），

∴DE=﹣t2+t﹣2﹣（t﹣2）=﹣t2+2t，

∴S△DAC=×（﹣t2+2t）×4=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4，

則當(dāng)t=2時(shí)，△DAC面積最大為4；

（3）存在，如圖，

設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，則P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣m2+m﹣2，

當(dāng)1＜m＜4時(shí)，AM=4﹣m，PM=﹣m2+m﹣2，

又∵∠COA=∠PMA=90°，

∴①當(dāng)==2時(shí)，△APM∽△ACO，即4﹣m=2（﹣m2+m﹣2），

解得：m=2或m=4（舍去），

此時(shí)P（2，1）；

②當(dāng)==時(shí)，△APM∽△CAO，即2（4﹣m）=﹣m2+m﹣2，

解得：m=4或m=5（均不合題意，舍去）

∴當(dāng)1＜m＜4時(shí)，P（2，1）；

類似地可求出當(dāng)m＞4時(shí)，P（5，﹣2）；

當(dāng)m＜1時(shí)，P（﹣3，﹣14），

綜上所述，符合條件的點(diǎn)P為（2，1）或（5，﹣2）或（﹣3，﹣14）．