Question

【題目】如圖①，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，且點A在ED的延長線上，以DE為直徑的⊙O與AB交于G、H兩點，連接BE．

(1)求證：BE是⊙O的切線；

(2)如圖②，連接OB、OC，若tan∠CAD＝，試判斷四邊形BECO的形狀，請說明理由；

(3)在(2)的條件下，若BF＝，請你求出HG的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)四邊形BECO是平行四邊形；(3)HG＝．

【解析】

(1)利用等腰直角三角形的性質，證△BCE≌△ACD，推出∠CBE＝∠CAD，證出∠AEB＝90°，即可推出結論；

(2)先證CO⊥DE，AO＝2CO，推出AD＝CO，由△BCE≌△ACD可知BE＝AD，所以BE＝CO，再證BE∥CO即可；

(3)先由平行四邊形的性質推出對角線CB的長，利用三角函數(shù)求出AB的長，再在Rt△AOC中求出AO，CO的長，過點O作OM⊥AB于點M，連接OG，證△MAO∽△BAE，求出OM的長，由勾股定理求出MG的長，可進一步推出HG的長．

(1)證明：∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，

∴BC＝AC，EC＝DC，

∴∠DCE＝∠ACB＝90°，

∴∠DCE﹣∠FCD＝∠ACB﹣∠FCD，

∴∠BCE＝∠ACD，

∴△BCE≌△ACD(SAS)，

∴∠CBE＝∠CAD，

∴∠ABE+∠BAE＝90°，

∴∠AEB＝90°，

∴BE⊥OE，

又∵OE是⊙O的半徑，

∴BE是⊙O的切線；

(2)四邊形BECO是平行四邊形，

理由如下：

∵點O是ED的中點，

∴CO是DE邊上的中線，

∵△CDE是等腰三角形，

∴CO是DE邊上的高線，

∴CO⊥DE，

∴∠COE＝∠AOC＝90°，

∵∠AEB＝90°，

∴∠AEB＝COE，

∴CO∥BE，

∵在Rt△AOC中，tan∠CAD＝，

∴ ＝，

∴AO＝2CO，

∴DO＝CO，

∴AD＝CO，

∵△BCE≌△ACD，

∴BE＝AD，

∴BE＝CO，

∴四邊形BECO是平行四邊形；

(3)∵四邊形BECO是平行四邊形，

∴CF＝BF＝，

∴BC＝2，

∴AC＝BC＝2，

∴AB＝ ＝2，

設OC＝x，則AO＝2x，

∵在Rt△AOC中，OC2+AO2＝AC2，

∴x2+(2x)2＝(2)2，

解得，x＝2(取正值)，

∴OC＝BE＝2，AO＝4，

如圖3，過點O作OM⊥AB于點M，連接OG，

∴∠AMO＝90°，HG＝2MG，

∴∠AMO＝∠AEB＝90°，

∵∠MAO＝∠BAE，

∴△MAO∽△BAE，

∴ ，

∴ ，

∴OM＝，

在Rt△MOG中，OM2+MG2＝OG2，

∴()2+MG2＝22，

∴MG＝(取正值)，

∴HG＝2MG＝．