【題目】如圖①,△ABC和△CDE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE90°,且點AED的延長線上,以DE為直徑的⊙OAB交于G、H兩點,連接BE

(1)求證:BE是⊙O的切線;

(2)如圖②,連接OB、OC,若tanCAD,試判斷四邊形BECO的形狀,請說明理由;

(3)(2)的條件下,若BF,請你求出HG的長.

【答案】(1)證明見解析;(2)四邊形BECO是平行四邊形;(3)HG

【解析】

(1)利用等腰直角三角形的性質,證BCE≌△ACD,推出∠CBE=∠CAD,證出∠AEB90°,即可推出結論;

(2)先證CODEAO2CO,推出ADCO,由BCE≌△ACD可知BEAD,所以BECO,再證BECO即可;

(3)先由平行四邊形的性質推出對角線CB的長,利用三角函數(shù)求出AB的長,再在RtAOC中求出AO,CO的長,過點OOMAB于點M,連接OG,證MAO∽△BAE,求出OM的長,由勾股定理求出MG的長,可進一步推出HG的長.

(1)證明:∵△ABCCDE都是等腰直角三角形,

BCACECDC,

∴∠DCE=∠ACB90°

∴∠DCE﹣∠FCD=∠ACB﹣∠FCD,

∴∠BCE=∠ACD,

∴△BCE≌△ACD(SAS)

∴∠CBE=∠CAD,

∴∠ABE+BAE90°,

∴∠AEB90°

BEOE,

又∵OE是⊙O的半徑,

BE是⊙O的切線;

(2)四邊形BECO是平行四邊形,

理由如下:

∵點OED的中點,

CODE邊上的中線,

∵△CDE是等腰三角形,

CODE邊上的高線,

CODE,

∴∠COE=∠AOC90°,

∵∠AEB90°,

∴∠AEBCOE,

COBE,

∵在RtAOC中,tanCAD

,

AO2CO,

DOCO,

ADCO,

∵△BCE≌△ACD,

BEAD,

BECO,

∴四邊形BECO是平行四邊形;

(3)∵四邊形BECO是平行四邊形,

CFBF,

BC2,

ACBC2,

AB 2,

OCx,則AO2x,

∵在RtAOC中,OC2+AO2AC2

x2+(2x)2(2)2,

解得,x2(取正值),

OCBE2AO4,

如圖3,過點OOMAB于點M,連接OG,

∴∠AMO90°,HG2MG,

∴∠AMO=∠AEB90°,

∵∠MAO=∠BAE

∴△MAO∽△BAE,

,

,

OM,

RtMOG中,OM2+MG2OG2,

()2+MG222,

MG(取正值),

HG2MG

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