Question

【題目】如圖，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，AD與FE，BE分別交于點(diǎn)G、H，∠CBE=∠BAD．有下列結(jié)論：①FD=FE；②AH=2CD；③BCAD= AE2；④S△ABC=2S△ADF ． 其中正確結(jié)論的序號是________．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上）

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出FD= AB，證明△ABE是等腰直角三角形，得出AE=BE，證出FE= AB，可得FD=FE，①正確；

證出∠ABC=∠C，得出AB=AC，由等腰三角形的性質(zhì)得出BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，由ASA證明△AEH≌△BEC，得出AH=BC=2CD，②正確；

證明△ABD～△BCE，得出=，即BCAD=ABBE，再由等腰直角三角形的性質(zhì)和三角形的面積得出BCAD= AE2；③正確；

由F是AB的中點(diǎn)，BD=CD，得出S△ABC=2S△ABD=4S△ADF．④不正確；即可得出結(jié)論．

∵在△ABC中，AD和BE是高，

∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，

∵點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，

∴FD= AB，

∵∠ABE=45°，

∴△ABE是等腰直角三角形，

∴AE=BE，

∵點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，

∴FE= AB，

∴FD=FE，①正確；

∵∠CBE=∠BAD,∠CBE+∠C=90°,∠BAD+∠ABC=90°，

∴∠ABC=∠C，

∴AB=AC，

∵AD⊥BC，

∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，

在△AEH和△BEC中,，

∴△AEH≌△BEC(ASA)，

∴AH=BC=2CD，②正確；

∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB，

∴△ABD△BCE，

∴=，即BCAD=ABBE，

∵△ABE是等腰直角三角形，

∴AB=AE，

∵ABAE=ABBE =，BCAD=ACBE=ABBE，

∴BCAD=；③正確；

∵F是AB的中點(diǎn)，BD=CD，

∴S△ABC=2S△ABD=4S△ADF.④不正確.

故答案為：①②③.