Question

【題目】圖1、圖2為同一長(zhǎng)方體房間的示意圖，圖3為該長(zhǎng)方體的表面展開(kāi)圖．

（1）蜘蛛在頂點(diǎn)A′處．

①蒼蠅在頂點(diǎn)B處時(shí)，試在圖1中畫(huà)出蜘蛛為捉住蒼蠅，沿墻面爬行的最近路線(xiàn)；

②蒼蠅在頂點(diǎn)C處時(shí)，圖2中畫(huà)出了蜘蛛捉住蒼蠅的兩條路線(xiàn)，往天花板ABCD爬行的最近路線(xiàn)A′GC和往墻面BB′C′C爬行的最近路線(xiàn)A′HC，試通過(guò)計(jì)算判斷哪條路線(xiàn)更近；

（2）在圖3中，半徑為10dm的⊙M與D′C′相切，圓心M到邊CC′的距離為15dm，蜘蛛P在線(xiàn)段AB上，蒼蠅Q在⊙M的圓周上，線(xiàn)段PQ為蜘蛛爬行路線(xiàn)，若PQ與⊙M相切，試求PQ長(zhǎng)度的范圍．

Answer 1

【答案】（1）①作圖見(jiàn)試題解析；②往天花板ABCD爬行的最近路線(xiàn)A′GC更近；（2）dm≤PQ≤55dm．

【解析】

試題分析：（1）①根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”可知：線(xiàn)段A′B為最近路線(xiàn)；

②Ⅰ．將長(zhǎng)方體展開(kāi)，使得長(zhǎng)方形ABB′A′和長(zhǎng)方形ABCD在同一平面內(nèi)，如圖2①，運(yùn)用勾股定理求出AC長(zhǎng)；Ⅱ．將長(zhǎng)方體展開(kāi)，使得長(zhǎng)方形ABB′A′和長(zhǎng)方形BCC′B′在同一平面內(nèi)，如圖2②，運(yùn)用勾股定理求出A′C長(zhǎng)，然后將兩個(gè)長(zhǎng)度進(jìn)行比較，就可解決問(wèn)題；

（2）過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AB于H，連接MQ、MP、MA、MB，如圖3．由⊙M與D′C′相切于點(diǎn)Q可得MQ⊥PQ，即∠MQP=90°，根據(jù)勾股定理可得PQ=．要求PQ的取值范圍，只需先求出MP的取值范圍，就可解決問(wèn)題．

試題解析：（1）①根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”可知：線(xiàn)段A′B為最近路線(xiàn)，如圖1所示．

②Ⅰ．將長(zhǎng)方體展開(kāi)，使得長(zhǎng)方形ABB′A′和長(zhǎng)方形ABCD在同一平面內(nèi)，如圖2①．

在Rt△A′B′C中，∠B′=90°，A′B′=40，B′C=60，∴AC===；

Ⅱ．將長(zhǎng)方體展開(kāi)，使得長(zhǎng)方形ABB′A′和長(zhǎng)方形BCC′B′在同一平面內(nèi)，如圖2②．

在Rt△A′C′C中，∠C′=90°，A′C′=70，C′C=30，∴A′C===．∵＜，∴往天花板ABCD爬行的最近路線(xiàn)A′GC更近；

（2）過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AB于H，連接MQ、MP、MA、MB，如圖3．

∵半徑為10dm的⊙M與D′C′相切，圓心M到邊CC′的距離為15dm，BC′=60dm，∴MH=60﹣10=50，HB=15，AH=40﹣15=25，根據(jù)勾股定理可得AM===，MB===，∴50≤MP≤．∵⊙M與D′C′相切于點(diǎn)Q，∴MQ⊥PQ，∠MQP=90°，∴PQ=．當(dāng)MP=50時(shí)，PQ==；

當(dāng)MP=時(shí)，PQ==55．

∴PQ長(zhǎng)度的范圍是dm≤PQ≤55dm．