Question

【題目】勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關(guān)系，其中蘊(yùn)含著豐富的科學(xué)知識和人文價(jià)值．如圖所示，是一棵由正方形和含角的直角三角形按一定規(guī)律長成的勾股樹，樹的主干自下而上第一個(gè)正方形和第一個(gè)直角三角形的面積之和為，第二個(gè)正方形和第二個(gè)直角三角形的面積之和為，…，第個(gè)正方形和第個(gè)直角三角形的面積之和為．

設(shè)第一個(gè)正方形的邊長為1．

請解答下列問題：

（1）______．

（2）通過探究，用含的代數(shù)式表示，則______．

Answer 1

【答案】 （為整數(shù)）

【解析】

根據(jù)正方形的面積公式求出面積，再根據(jù)直角三角形三條邊的關(guān)系運(yùn)用勾股定理求出三角形的直角邊，求出S1，然后利用正方形與三角形面積擴(kuò)大與縮小的規(guī)律推導(dǎo)出公式．

解：（1）∵第一個(gè)正方形的邊長為1，
∴正方形的面積為1，
又∵直角三角形一個(gè)角為30°，
∴三角形的一條直角邊為，另一條直角邊就是，
∴三角形的面積為，
∴S1=；
（2）∵第二個(gè)正方形的邊長為，它的面積就是，也就是第一個(gè)正方形面積的，
同理，第二個(gè)三角形的面積也是第一個(gè)三角形的面積的，
∴S2=（），依此類推，S3=（），即S3=（），
Sn=（n為整數(shù)）．

故答案為：（1） ；（2）（為整數(shù)）