Question

如圖，已知P為∠AOB的邊OA上的一點，以P為頂點的∠MPN的兩邊分別交射線OB于M，N兩點，且∠MPN=∠AOB=α（α為銳角）。當∠MPN以點P為旋轉(zhuǎn)中心，PM邊與PO重合的位置開始，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（∠MPN保持不變）時，M，N兩點在射線OB上同時以不同的速度向右平行移動。設OM=x，ON=y（y>x>0），△POM的面積為S，若sinα=，OP=2。

（1）當∠MPN旋轉(zhuǎn)30° （即∠OPM=30° ）時，求點N移動的距離；
（2）求證：△OPN∽△PMN；
（3）寫出y與x之間的關系式；
（4）試寫出S隨x變化的函數(shù)關系式，并確定S的取值范圍。

Answer 1

解：（1）∵且a為銳角，
∴a=60°，即，
∴初始狀態(tài)時，△PON為等邊三角形，
∴ON=OP=2，當PM旋轉(zhuǎn)到PM′時，點N移動到N′，
∵OPM′=30°，，
∴，
在Rt△OPM′中，，
∴，
∴點N移動的距離為2
（2）在△OPN和△PMN中，

∴△OPN∽△PMN；
（3）∵MN=ON-OM=y-x，
∴，
過P點作PD⊥OB，垂足為D，
在Rt△OPD中，OD=OP·cos60°=，
，
∴，
在Rt△PND中，，
∴，即；
（4）在Rt△OPM中，OM邊上的高PD為，
∴，
∵y>0，
∴2-x>0，即x<2，
又∵x≥0，
∴x的取值范圍是；
∵S是x的正比例函數(shù)，且比例系數(shù)，
∴，即。