Question

（2013•門(mén)頭溝區(qū)二模）如圖，AB是⊙O的直徑，C是AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)D在⊙O上，且∠A=30°，∠ABD=2∠BDC．
（1）求證：CD是⊙O的切線(xiàn)；
（2）過(guò)點(diǎn)O作OF∥AD，分別交BD、CD于點(diǎn)E、F．若OB=2，求OE和CF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）首先連接OD，由AB是⊙O的直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，可得∠ADB=90°，又由∠A=30°，∠ABD=2∠BDC，易證得△ODB是等邊三角形，繼而求得∠ODC=90°，即CD是⊙O的切線(xiàn)；
（2）由三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得CD與DF的長(zhǎng)，繼而求得答案．

解答：（1）證明：連結(jié)OD．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．  
∵∠A=30°，
∴∠ABD=60°．
∵∠ABD=2∠BDC，
∴∠BDC=

1

2

∠ABD=30°．
∵OD=OB，
∴△ODB是等邊三角形．
∴∠ODB=60°．
∴∠ODC=∠ODB+∠BDC=90°．
∴CD是⊙O的切線(xiàn)．

（2）解：∵OF∥AD，∠ADB=90°，
∴OF⊥BD，∠BOE=∠A=30°． …（3分）
∵BD=OB=2，
∴DE=BE=

1

2

BD=1．
∴OE=

OB2-BE2

=

3

．
∵OD=OB=2，∠DOC=60°，∠DOF=30°，
∴CD=OD•tan60°=2

3

，DF=OD•tan30°=

2

3

3

．
∴CF=CD-DF=2

3

-

2

3

3

=

4

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線(xiàn)的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題難度適中，注意掌握輔助線(xiàn)的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．