【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2﹣8ax+6(a>0)的圖象與x軸分別交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D在拋物線的對(duì)稱軸上,且四邊形ABDC為平行四邊形.
(1)求此拋物線的對(duì)稱軸,并確定此二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)點(diǎn)E為x軸下方拋物線上一點(diǎn),若△ODE的面積為12,求點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M,點(diǎn)P是拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn),連接PE、EM,過點(diǎn)P作PE的垂線交拋物線于點(diǎn)Q,當(dāng)∠PQE=∠EMP時(shí),求點(diǎn)Q到拋物線的對(duì)稱軸的距離.
【答案】(1)x=4,y=x2﹣4x+6;(2)(3,-);(3)4或2+
【解析】
(1)先求出對(duì)稱軸為x=4,進(jìn)而求出AB=4,進(jìn)而求出點(diǎn)A,B坐標(biāo),即可得出結(jié)論;
(2)根據(jù)E點(diǎn)在拋物線y=x2﹣4x+6上,設(shè)E(m,m2﹣4m+6),作EN⊥y軸于N,利用面積的和差:S梯形CDEN﹣S△OCD﹣S△OEN=S△ODE建立方程求解,即可得出結(jié)論;
(3)①當(dāng)點(diǎn)Q在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí),先判斷出點(diǎn)E,M,Q,P四點(diǎn)共圓,得出∠EMQ=90°,利用同角的余角相等判斷出∠EMF=∠HGM,得出tan∠EMF==2,得出HG=HM=1,進(jìn)而求出Q(8,6),得出結(jié)論;
②當(dāng)點(diǎn)Q在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí),先判斷出△PDQ∽△EFP,得出,進(jìn)而判斷出DP=,PF=2QD,即可得出結(jié)論.
解:(1)對(duì)稱軸為直線x=﹣,則CD=4,
∵四邊形ABDC為平行四邊形,
∴DC∥AB,DC=AB,
∴DC=AB=4,
∴A(2,0),B(6,0),
把點(diǎn) A(2,0)代入得y=ax2﹣8ax+12得4a﹣16a+6=0,解得a=,
∴二次函數(shù)解析式為y=x2﹣4x+6;
(2)如圖1,設(shè)E(m,m2﹣4m+6),其中2<m<6,作EN⊥y軸于N,
∵S梯形CDEN﹣S△OCD﹣S△OEN=S△ODE,
∴(4+m)(6﹣m2+4m﹣6)﹣×4×6﹣m(﹣m2+4m﹣6)=12,
化簡(jiǎn)得:m2﹣11m+24=0,解得m1=3,m2=8(舍),
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3,﹣);
(3)①當(dāng)點(diǎn)Q在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí),如圖2,
過點(diǎn)E作EF⊥PM于F,MQ交x軸于G,
∵∠PQE=∠PME,
∴點(diǎn)E,M,Q,P四點(diǎn)共圓,
∵PE⊥PQ,
∴∠EPQ=90°,
∴∠EMQ=90°,
∴∠EMF+∠HMG=90°,
∵∠HMG+∠HGM=90°,
∴∠EMF=∠HGM,
在Rt△EFM中,EF=1,FM=,tan∠EMF==2,
∴tan∠HGM=2,
∴,
∴HG=HM=1,
∴點(diǎn)G(5,0),
∵M(4,﹣2),
∴直線MG的解析式為y=2x﹣10①,
∵二次函數(shù)解析式為y=x2﹣4x+6②,
聯(lián)立①②解得,(舍)或,
∴Q(8,6),
∴點(diǎn)Q到對(duì)稱軸的距離為8﹣4=4;
②當(dāng)點(diǎn)Q在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí),如圖3,
過點(diǎn)E作EF⊥PM于F,過點(diǎn)Q作QD⊥PM于D,
∴∠DQP+∠QPD=90°,
∵∠EPQ=90°,
∴∠DPQ+∠FPE=90°,
∴∠DQP=∠FPE,
∵∠PDQ=∠EFP,
∴△PDQ∽△EFP,
∴,
由①知,tan∠PQE==2,
∵EF=1,
∴=,
∴DP=,PF=2QD,
設(shè)Q(n,n2﹣4n+6),
∴DQ=4﹣n,DH=n2﹣4n+6,
∴PF=DH+FH﹣DP=n2﹣4n+6+﹣=n2﹣4n+7,
∴n2﹣4n+7=2(4﹣n),
∴n=2+(舍)或n=2﹣,
∴DQ=4﹣n=2+,
即點(diǎn)Q到對(duì)稱軸的距離為4或2+.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,在△ABC 中,CD⊥AB 于點(diǎn) D,AD=CD=2,BD=4,點(diǎn) E 是線段BD 的中點(diǎn),點(diǎn) P 從點(diǎn) A 出發(fā),沿折線 AC-CB 向終點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng),點(diǎn) P 在邊 AC 上的速度為每秒個(gè)單位長(zhǎng)度,P在BC邊上的速度為個(gè)單位長(zhǎng)度,設(shè)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t(秒).
(1)用含 t 的代數(shù)式表示點(diǎn) P 到直線 AB 的距離.
(2)如圖②,作點(diǎn) P 關(guān)于直線 CD 的對(duì)稱點(diǎn) Q,設(shè)以 D、E、Q、P 為頂點(diǎn)的四邊形的面積為 S(平方單位),求 S 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式.
(3)當(dāng)點(diǎn) P 在邊 BC 上時(shí),在△BCD 的邊上(不包括頂點(diǎn))存在點(diǎn) H,使四邊形 DEPH為軸對(duì)稱圖形,直接寫出此時(shí)線段 CP 的長(zhǎng).
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣4,0),點(diǎn)B在y軸上,若反比例函數(shù)(k≠0)的圖象過點(diǎn)C,則該反比例函數(shù)的表達(dá)式為( 。
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,對(duì)折矩形紙片ABCD,使AB與DC重合得到折痕EF,將紙片展平,再一次折疊,使點(diǎn)D落到EF上點(diǎn)G處,并使折痕經(jīng)過點(diǎn)A,已知BC=2,則線段EG的長(zhǎng)度為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有四張正面分別標(biāo)有數(shù)字,,,的不透明卡片,它們除數(shù)字不同外其余全部相同.現(xiàn)將它們背面朝上,洗勻后從中抽取一張,將該卡片上的數(shù)字記為;不放回,再?gòu)闹谐槿∫粡,將該卡片上的?shù)字記為,則使關(guān)于的不等式組的解集中有且只有個(gè)非負(fù)整數(shù)解的概率為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】五名學(xué)生投籃球,每人投10次,統(tǒng)計(jì)他們每人投中的次數(shù).得到五個(gè)數(shù)據(jù),并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理和分析給出如下信息:
平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) |
m | 6 | 7 |
則下列選項(xiàng)正確的是( )
A.可能會(huì)有學(xué)生投中了8次
B.五個(gè)數(shù)據(jù)之和的最大值可能為30
C.五個(gè)數(shù)據(jù)之和的最小值可能為20
D.平均數(shù)m一定滿足
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【題目】在中,,點(diǎn)D是外一點(diǎn),點(diǎn)D與點(diǎn)C在直線的異側(cè),且點(diǎn)不共線,連接.
(1)如圖1,當(dāng)時(shí),畫出圖形,直接寫出之間的數(shù)量關(guān)系;
(2)當(dāng)時(shí),利用圖2,繼續(xù)探究之間的數(shù)量關(guān)系并證明;
(提示:嘗試運(yùn)用圖形變換,將要研究的有關(guān)線段盡可能轉(zhuǎn)移到一個(gè)三角形中)
(3)當(dāng)時(shí),進(jìn)一步探究之間的數(shù)量關(guān)系,并用含的等式直接表示出它們之間的關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與軸交于點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)(用含的式子表示);
(2)求拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo);
(3)已知點(diǎn),,如果拋物線與線段恰有一個(gè)公共點(diǎn),結(jié)合函數(shù)圖象,求的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形中,線段的垂直平分線交于,分別交于,連接.
(1)證明:四邊形是菱形;
(2)在(1)的條件下,如果,求四邊形的面積.
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