Question

如圖，菱形ABCD中，AB＝AC，點E、F分別為邊AB、BC上的點，且AE＝BF，連接CE、AF交于點H，連接DH交AC于點O．

（1）△ABF≌△CAE；

（2）HD平分∠AHC嗎？為什么？

 

Answer 1

【答案】

（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AB＝BC，再結(jié)合AB＝AC可得△ABC為等邊三角形，即可得到∠B＝∠CAB＝60°，再結(jié)合AE＝BF，AB＝AC即可證得結(jié)論；（2）平分

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AB＝BC，再結(jié)合AB＝AC可得△ABC為等邊三角形，即可得到∠B＝∠CAB＝60°，再結(jié)合AE＝BF，AB＝AC即可證得結(jié)論；

（2）過點D作DG⊥CH于點G，作DK⊥FA交FA的延長線于點K，由△ABF≌△CAE．可得∠BAF＝∠CAE，即可得到∠CAE＋∠CAF＝60°，則∠AHC＝120°，由∠ADC＝60°，可得∠HAD＋∠HCD＝180°，從而可得∠HCD＝∠KAD，即可證得△ADK≌△CDG，再結(jié)合DG⊥CH，DK⊥FA即可得到結(jié)論．

（1）∵ABCD為菱形，

∴AB＝BC．

∵AB＝AC，

∴△ABC為等邊三角形．

∴∠B＝∠CAB＝60°．

又∵AE＝BF，AB＝AC，

∴△ABF≌△CAE；

（2）過點D作DG⊥CH于點G，作DK⊥FA交FA的延長線于點K，

∵△ABF≌△CAE．

∴∠BAF＝∠CAE，

∵∠BAF＋∠CAF＝60°，

∴∠CAE＋∠CAF＝60°，

∴∠AHC＝120°，

∵∠ADC＝60°，

∴∠HAD＋∠HCD＝180°，

∵∠HAD＋∠KAD＝180°，

∴∠HCD＝∠KAD，

∵AD＝CD，∠DGC＝∠AKD＝90°，

∴△ADK≌△CDG，

∴DK＝DG，

∵DG⊥CH，DK⊥FA，

∴HD平分∠AHC．

考點：菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定

點評：此類問題知識點較多，綜合性較強，是中考常見題，一般難度不大.