Question

如圖所示，AB是⊙O的直徑，AD是弦，∠DBC=∠A．
（1）求證：BC與⊙O的位置關(guān)系是______；
（2）若OC是BD的垂直平分線，垂足為E，BD=6，CE=4，求AD的長為______．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)圓周角的性質(zhì)解答；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及中位線定理解答；
解答：（1）證明：AB是⊙O直徑，
∴∠D=90°，
∴∠A+∠ABD=90°．
又∵∠DBC=∠A，
∴∠DBC+∠ABD=90°，即∠ABC=90°．
∵OB是半徑，
∴BC與⊙O相切；

（2）解：∵OC垂直平分BD，
∴BE=BD=3，
∵BE⊥OC，
∴∠BEO=∠BEC=90°，∠EOB+∠OBE=90°．
∵∠OBE+∠EBC=∠OBC=90°，∠OBE+∠EBC=∠OBC=90°，
∴∠EOB=∠EBC，
∴△OBE∽△BCE，
∴=，
∴OE===．
∵OA=OB，BE=DE，
∴OE是△ABD的中位線，
∴AD=2OE=．
點評：此題考查的是三角形與圓的位置關(guān)系，中位線定理，以及相似三角形的性質(zhì)．