Question

如圖，等腰梯形ABCD的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上，能否在DC上找到一點(diǎn)E使得梯形被EA、EB分割成3個(gè)相似三角形？如果能，請(qǐng)用符號(hào)把它們表示出來(lái)，并求相似比；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：由圖形可知∠A=∠B=45°，∠D=∠C=135°，AD和BC的長(zhǎng)也可求，若要使△ADE∽△ECB．則可選擇嘗試SAS判定法，取E 在D右邊一格頂點(diǎn)上即DE=

1

2

CE問(wèn)題即可解決．再通過(guò)勾股定理計(jì)算AE，BE的值利用SAS判定△BEA∽△ADE，所以三個(gè)三角形都相似．

解答：解：能在DC上找到一點(diǎn)E使得梯形被EA、EB分割成3個(gè)相似三角形，點(diǎn)E 在D右邊一格頂點(diǎn)上即DE=

1

2

CE（如圖所示）
連接AE，BE，
設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，
∴AD=BC=

12+12

=

2

．
∵

AD

DE

=

2

1

，

CE

CB

=

2

2

=

2

1

，
又∵等腰梯形ABCD的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上，
∴∠DAB=∠CBA=45°，
∴∠ADE=135°，∠ECB=135°．
∴△ADE∽△ECB．
∴∠AED=∠CBE．
∵∠CEB+∠CBE=45°，
∴∠AED+∠CEB=45°，
∴∠AEB=135°，
由圖知AE=

12+22

=

5

，EB=

12+32

=

10

．
∴

BE

AE

=

10

5

=

2

1

，
∴△BEA∽△ADE∽△ECB．
∴能在DC上找到一點(diǎn)E使得梯形被EA、EB分割成3個(gè)相似三角形．
它們的相似比為：ED：BC：AE=1：

2

：

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，常用的相似判定方法有：平行線，AA，SAS，SSS；常用到的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等；對(duì)應(yīng)邊的比值相等；面積比等于相似比的平方．