Question

【題目】如圖1，拋物線y=﹣x2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣4，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，對(duì)稱軸x=﹣，點(diǎn)N（n，0）是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（N與A、B兩點(diǎn)不重合），請(qǐng)回答下列問(wèn)題：

（1）求出拋物線的解析式，并寫出C點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）試求出當(dāng)n為何值時(shí)，△ANC恰能構(gòu)成是等腰三角形．

（3）如圖2，過(guò)N作NF∥BC，與AC相交于D點(diǎn)，連結(jié)CN，請(qǐng)問(wèn)在N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△CDN的面積是否存在最大值；若存在，試求出該最大面積，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+2，C（0，2）；（2）當(dāng)n=2﹣4或﹣時(shí)，△ANC是等腰三角形；（3）當(dāng)n=﹣時(shí)，△DCN的面積最大，最大值為．

【解析】

（1）由拋物線y=﹣x2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣4，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，不妨設(shè)拋物線的解析式為y=﹣（x+4）（x﹣1），由此即可解決問(wèn)題；

（2）分別表示出AC、AN、NC，然后分三種情形討論：①當(dāng)AN=AC時(shí)；②當(dāng)NA=NC時(shí)，③當(dāng)NC=AC時(shí)；分別構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題；

（3）根據(jù)S△CDN=S△ANC﹣S△ADN構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問(wèn)題；

（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣4，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，不妨設(shè)拋物線的解析式為y=﹣（x+4）（x﹣1），即y=﹣x2﹣x+2，∴C（0，2）．

（2）∵A（﹣4，0），N（n，0），C（0，2），∴AC==2，AN= n+4，NC=．

分三種情況討論：

①當(dāng)AN=AC時(shí)，n+4=2，解得：n=2﹣4．

②當(dāng)NA=NC時(shí)，n+4=，解得：n=﹣．

③當(dāng)NC=AC時(shí)，=2，解得：n=±4．

∵點(diǎn)N（n，0）是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（N與A、B兩點(diǎn)不重合），故這種情況不成立．

綜上所述：當(dāng)n=2﹣4或﹣時(shí)，△ANC是等腰三角形．

（3）由題意可知：直線BC的解析式為y=﹣2x+2，直線AC的解析式為y=x+2，設(shè)N（n，0）．

∵ND∥BC，設(shè)ND的解析式為y=﹣2x+b，代入（n，0）可得：b=2n，∴ND的解析式為y=﹣2x+2n，由，可得點(diǎn)D的縱坐標(biāo)：yD=（8+2n），∴S△CDN=S△ANC﹣S△ADN =[2×（n+4）﹣（8+2n）（n+4）]==﹣（n+）2+．

∵﹣＜0，∴當(dāng)n=﹣時(shí)，△DCN的面積最大，最大值為．