Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AC⊥BD交BD于點(diǎn)E，點(diǎn)F、M分別是AB、BC的中點(diǎn)，BN平分∠ABE交AM于點(diǎn)N，AB＝AC＝BD，連接MF，NF

求證：（1）BN＝MN；

（2）△MFN∽△BDC．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得是高線(xiàn)、頂角的角平分線(xiàn)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得，進(jìn)而可知是等腰直角三角形，即得．

（2）根據(jù)三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)，可得與的關(guān)系，根據(jù)等量代換，可得與的關(guān)系，根據(jù)等腰直角三角形，可得與的關(guān)系，根據(jù)等量代換，可得與的關(guān)系，根據(jù)同角的余角相等，可得與的關(guān)系，根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似，可得答案．

（1）證明：∵，點(diǎn)是的中點(diǎn)

∴，平分

∵平分

∴

∵

∴

∴

∴

∴是等腰直角三角形

∴

（2）證明：∵點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，

∴，

∵

∴，即

∵是等腰直角三角形

∴，即

∴

∵

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∴

∴