Question

直線y=-

4

3

x+4與x，y軸交于A，B兩點(diǎn)，在坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)P，⊙P的半徑為6．
（1）求A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）若點(diǎn)P在直線y=-

4

3

x+4上，且與x軸相切，求點(diǎn)P坐標(biāo)．
（3）若⊙P與x軸和直線y=-

4

3

x+4都相切，求點(diǎn)P坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）已知直線解析式，易求A，B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由題意知點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，說(shuō)的很模糊，所以要分類(lèi)討論，再根據(jù)圓的性質(zhì)及相切的條件，又知道圓的半徑，從而求出每種情況的P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）分P有四種情況，根據(jù)勾股定理求得P到選、軸的距離即可求得P的橫坐標(biāo)，則P的坐標(biāo)可以求得．

解答：解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=4，
當(dāng)y=0時(shí)，-

4

3

x+4=0，解得x=3．
故A（3，0），B（0，4）；

（2）在y=-

4

3

x+4中當(dāng)y=6時(shí)，-

4

3

x+4=6，解得：x=-

3

2

，則P的坐標(biāo)是：（-

3

2

，6）；
在y=-

4

3

x+4中當(dāng)y=-6時(shí)，-

4

3

x+4=-6，解得：x=

15

2

，則P的坐標(biāo)是（

15

2

，-6）；

（3）當(dāng)P的位置如①時(shí)，
連接P與切點(diǎn)E，F(xiàn)，則PE⊥x軸，PF⊥AB，作PG∥x軸，交AB于點(diǎn)G，作GH⊥x軸于H．則PE=PF=GH=6，
在直角△AHG和直角△PFG中，

GH

AH

=

PF

FG

=

4

3

，
∴AH=GF=

9

2

，
∴OH=AH-OA=

9

2

-3=

3

2

，即H的坐標(biāo)是（-

3

2

，0），
PG=

PF2+FG2

=

62+( 9 2 )2

=

15

2

，
∴OE=OH+EH=OH+PG=

3

2

+

15

2

=9，則P的坐標(biāo)是：（-9，6）；

當(dāng)P的位置如圖②所示時(shí)，同①可以得到：AH=GF=

9

2

，PG=

PF2+FG2

=

62+( 9 2 )2

=

15

2

，
∴OH=AH-OA=

9

2

-3=

3

2

，
∴OE=PG-OH=

15

2

-

3

2

=6，
則P的坐標(biāo)是（6，6）；

當(dāng)P的位置如圖③時(shí)，同①可得：AH=

9

2

，PG=

15

2

則OH=OA+AH=3+

9

2

=

15

2

，
∴OE=OH-EH=OH-PG=

15

2

-

15

2

=0，則P的坐標(biāo)是（0，-6）；

當(dāng)P如圖④所示時(shí)，
AH=

9

2

，GP=HE=

15

2

，
∴OE=OA+AH+HE=3+

9

2

+

15

2

=15，
則P的坐標(biāo)是（15，-6）．
總之，P的坐標(biāo)是：（-9，6）或（6，6）或（0，-6）或（15，-6）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)與圓的切線的性質(zhì)，勾股定理的綜合應(yīng)用，正確分情況討論是關(guān)鍵．