Question

【題目】如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=13，AD=11，BC=21，E是BC的中點(diǎn)，P是AB上的任意一點(diǎn)，連接PE，將PE繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到PQ．

（1）如圖2，過(guò)A點(diǎn)，D點(diǎn)作BC的垂線(xiàn)，垂足分別為M，N，求sinB的值；

（2）若P是AB的中點(diǎn)，求點(diǎn)E所經(jīng)過(guò)的路徑弧EQ的長(zhǎng)（結(jié)果保留π）；

（3）若點(diǎn)Q落在AB或AD邊所在直線(xiàn)上，請(qǐng)直接寫(xiě)出BP的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）5π；（3）PB的值為或．

【解析】

（1）如圖1中，作AM⊥CB用M，DN⊥BC于N，根據(jù)題意易證Rt△ABM≌Rt△DCN，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出對(duì)應(yīng)邊相等，根據(jù)勾股定理可求出AM的值，即可得出結(jié)論；

（2）連接AC，根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再根據(jù)弧長(zhǎng)計(jì)算公式即可得出結(jié)論；

（3）當(dāng)點(diǎn)Q落在直線(xiàn)AB上時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求出PB的值；當(dāng)點(diǎn)Q在DA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，作PH⊥AD交DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于H，延長(zhǎng)HP交BC于G，設(shè)PB=x，則AP=13﹣x，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得對(duì)應(yīng)邊相等，即可求出PB的值.

解：（1）如圖1中，作AM⊥CB用M，DN⊥BC于N．

∴∠DNM=∠AMN=90°，

∵AD∥BC，

∴∠DAM=∠AMN=∠DNM=90°，

∴四邊形AMND是矩形，

∴AM=DN，

∵AB=CD=13，

∴Rt△ABM≌Rt△DCN，

∴BM=CN，

∵AD=11，BC=21，

∴BM=CN=5，

∴AM==12，

在Rt△ABM中，sinB==．

（2）如圖2中，連接AC．

在Rt△ACM中，AC===20，

∵PB=PA，BE=EC，

∴PE=AC=10，

∴的長(zhǎng)==5π．

（3）如圖3中，當(dāng)點(diǎn)Q落在直線(xiàn)AB上時(shí)，

∵△EPB∽△AMB，

∴==，

∴==，

∴PB=．

如圖4中，當(dāng)點(diǎn)Q在DA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，作PH⊥AD交DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于H，延長(zhǎng)HP交BC于G．

設(shè)PB=x，則AP=13﹣x．

∵AD∥BC，

∴∠B=∠HAP，

∴PG=x，PH=（13﹣x），

∴BG=x，

∵△PGE≌△QHP，

∴EG=PH，

∴﹣x=（13﹣x），

∴BP=．

綜上所述，滿(mǎn)足條件的PB的值為或．