Question

如圖，△ABC有一個內接平行四邊形DEFG，△ABC的高AM=80cm，底BC=120cm．
（1）設DE與AM相交于點N，MN=x，請用含x的式子表示DE的長及?DEFG的面積．
（2）當x為何值時，?DEFG的面積取最大值．

Answer 1

解：（1）∵MN=x，AM⊥BC，MN=x，
∴AN=AM-MN=80-x，
∵四邊形DEFG是平行四邊形，
∴DE∥GF，

∴△ADE∽△ABC，
∴=，即=，

∴DE=120-x；
∴S_?DEFG=DE•MN=（120-x）•x=-x²+120x；


（2）∵由（1）知S_?DEFG=-x²+120x，
∴當x=-=-=40cm時，?DEFG的面積取最大值．
分析：（1）先根據(jù)AM=80cm，AM⊥BC，MN=x得出AN=AM-MN=80-x，再由四邊形DEFG是平行四邊形得出△ADE∽△ABC，再根據(jù)相似三角形的對應邊成比例即可得出DE的長，再由平行四邊形的面積公式可得出?DEFG的面積表達式；
（2）根據(jù)（1）中?DEFG的面積表達式可得出結論．
點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質，涉及到平行四邊形的性質及二次函數(shù)的最值問題，難度適中．