Question

已知等邊三角形紙片ABC的邊長(zhǎng)為8，D為AB邊上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DG∥BC交AC于點(diǎn)G．DE⊥BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)G作GF⊥BC于點(diǎn)F，把三角形紙片ABC分別沿DG，DE，GF按圖1所示方式折疊，點(diǎn)A，B，C分別落在點(diǎn)A′，B′，C′處．若點(diǎn)A′，B′，C′在矩形DEFG內(nèi)或其邊上，且互不重合，此時(shí)我們稱△A′B′C′（即圖中陰影部分）為“重疊三角形”．
（1）若把三角形紙片ABC放在等邊三角形網(wǎng)格中（圖中每個(gè)小三角形都是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形），點(diǎn)A，B，C，D恰好落在網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)上．如圖2所示，請(qǐng)直接寫出此時(shí)重疊三角形A′B′C′的面積；
（2）實(shí)驗(yàn)探究：設(shè)AD的長(zhǎng)為m，若重疊三角形A′B′C′存在．試用含m的代數(shù)式表示重疊三角形A′B′C′的面積，并寫出m的取值范圍．（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

分析：（1）每個(gè)小三角形的面積是

3

4

，由圖知，陰影部分有四個(gè)小三角形，故重疊三角形A'B'C'的面積為

3

；
（2）當(dāng)AD的長(zhǎng)為m，BD為8-m，根據(jù)三角形的面積公式可得．

解答：解：（1）∵每個(gè)小三角形的面積是

3

4

∴重疊三角形A'B'C'的面積為

3

；

（2）重疊的等邊三角形A'B'C'的邊長(zhǎng)|8-m-m|=|8-2m|，
根據(jù)S=

1

2

absinC得：
面積是：

1

2

•

3

2

•|8-2m|²=

3

（4-m）²，
用含m的代數(shù)式表示重疊三角形A'B'C'的面積為

3

（4-m）²，
m的取值范圍為

8

3

≤m＜4．

點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)探究性的折疊問(wèn)題，考查了等邊三角形的性質(zhì)、圖形的折疊、平行四邊形的性質(zhì)等，同時(shí)考核了學(xué)生對(duì)新知識(shí)的探究能力．本題題目較長(zhǎng)，理解題意是解決本題的關(guān)鍵．