Question

如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)P、Q分別是AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P、Q與三角形ABC的頂點(diǎn)不重合），且AP=BQ，AQ、CP相交于點(diǎn)E．
（1）如設(shè)線段AP為x，線段CP為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；
（2）當(dāng)△CBP的面積是△CEQ的面積的2倍時(shí)，求AP的長(zhǎng)；
（3）點(diǎn)P、Q分別在AB、BC上移動(dòng)過(guò)程中，AQ和CP能否互相垂直？如能，請(qǐng)指出P點(diǎn)的位置；如不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）作PF⊥BC，在直角△BPF中，利用勾股定理即可得到關(guān)于x，y的方程，即可寫出函數(shù)關(guān)系式；
（2）證明△CEQ∽△CBP，根據(jù)相似三角形的面積的比等于相似比的平方，即可求解；
（3）由△ABQ≌△CAP，易證得∠CEQ=∠B=60°，即可得AQ和CP不可能互相垂直．

解答：解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC，∠B=∠BAC=∠ACB=60°，（1分）
作PF⊥BC于F（1分）
∵AP=x，BP=3-x，
∴BF=

1

2

（3-x），PF=

3

2

（3-x），CF=

1

2

（3+x），
∴CP²=PF²+CF²
∴y=

x2-3x+9

，0＜x＜3；（1分）

（2）∵AP=BQ，
∴AB=AC，∠B=∠BAC，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ=∠PCA，（2分）
∠BPC=∠BAC+∠PAC，∠EQC=∠B+∠BAQ，
∴∠BPC=∠EQC，（1分）
∵∠PCB=∠QCE，
∴△CEQ∽△CBP，（1分）
∴

S△CEQ

S△CBP

=(

CQ

CP

)2=

1

2

，
∴

x2-6x+9

x2-3x+9

=

1

2

，（1分）
∴x=

9+3 5

2

（舍），x=

9-3 5

2

，
AP的長(zhǎng)為

9-3 5

2

；

（3）∵△ABQ≌△CAP，
∴∠APC=∠AQB，
∴∠CEQ=∠AEP=180°-∠PAE-∠APC=180°-∠PAE-∠AQB=∠B，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠CEQ=∠B=60°，
∴AQ和CP不可能互相垂直．（2分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)與全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．