Question

【題目】已知拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三點(diǎn)，直線l是拋物線的對(duì)稱軸．

(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

(2)設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在直線l上是否存在點(diǎn)M，使△MAC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）∵A(－1，0)、B(3，0)經(jīng)過拋物線y＝ax2＋bx＋c，

∴可設(shè)拋物線為y＝a（x＋1）（x－3）。

又∵C(0，3) 經(jīng)過拋物線，∴代入，得3＝a（0＋1）（0－3），即a=－1。

∴拋物線的解析式為y＝－（x＋1）（x－3），即y＝－x2＋2x＋3。

（2）連接BC，直線BC與直線l的交點(diǎn)為P。 則此時(shí)的點(diǎn)P，使△PAC的周長(zhǎng)最小。

設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b，

將B(3，0)，C(0，3)代入，得：

，解得：。

∴直線BC的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝－x＋3。

當(dāng)x－1時(shí)，y＝2，即P的坐標(biāo)(1，2)。

（3）存在。點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)。

【解析】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，線段中垂線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)。

（1）可設(shè)交點(diǎn)式，用待定系數(shù)法求出待定系數(shù)即可。

（2）由圖知：A、B點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，那么根據(jù)拋物線的對(duì)稱性以及兩點(diǎn)之間線段最短可知：若連接BC，那么BC與直線l的交點(diǎn)即為符合條件的P點(diǎn)。

（3）由于△MAC的腰和底沒有明確，因此要分三種情況來(lái)討論：①MA＝AC、②MA＝MC、②AC＝MC；可先設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用M點(diǎn)縱坐標(biāo)表示△MAC的三邊長(zhǎng)，再按上面的三種情況列式求解：

∵拋物線的對(duì)稱軸為： x=1，∴設(shè)M(1，m)。

∵A(－1，0)、C(0，3)，∴MA2＝m2＋4，MC2＝m2－6m＋10，AC2＝10。

①若MA＝MC，則MA2＝MC2，得：m2＋4＝m2－6m＋10，得：m＝1。

②若MA＝AC，則MA2＝AC2，得：m2＋4＝10，得：m＝±。

③若MC＝AC，則MC2＝AC2，得：m2－6m＋10＝10，得：m＝0，m＝6，

當(dāng)m＝6時(shí)，M、A、C三點(diǎn)共線，構(gòu)不成三角形，不合題意，故舍去。

綜上可知，符合條件的M點(diǎn)，且坐標(biāo)為(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)。