Question

如圖，在同一平面內，將兩個全等的等腰直角三角形ABC和ADE擺放在一起，A為公共頂點，∠BAC=∠ADE=90°，它們的斜邊長為2，若△ABC固定不動，△ADE繞點A旋轉，AE、AD與邊BC的交點分別為F、G （點F不與點C重合，點G不與點B重合），設BF=a，CG=b．
（1）請在圖（1）中找出兩對相似但不全等的三角形，并選取其中一對進行證明．
（2）求b與a的函數(shù)關系式，直接寫出自變量a的取值范圍．
（3）以△ABC的斜邊BC所在的直線為x軸，BC邊上的高所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系（如圖2）．若BG=CF，求出點G的坐標，猜想線段BG、FG和CF之間的關系，并通過計算加以驗證．

Answer 1

分析：（1）找到有公共角的和45°角的兩個三角形即可；
（2）易得△ACG∽△FBA，利用相似三角形的對應邊成比例可得b與a的函數(shù)關系式，根據(jù)點F與點C重合時a為1，點G與點B重合時，a為2可得a的取值；
（3）結合（3）的條件和（2）的結論可得a，b的值，進而計算可得G、F的坐標，分別表示出BG、FG和CF的長度，看有什么等量關系即可．

解答：解：（1）△ACG∽△FAG，△FAG∽△FBA．
∵∠GAF=∠C=45°，
∠AGF=∠AGC，
∴△ACG∽△FAG．類似證明△FAG∽△FBA；

（2）∵∠CAG=∠CAF+45°，∠BFA=∠CAF+45°，
∴∠CAG=∠BFA．
∵∠B=∠C=45°，
∴△ACG∽△FBA，
∴

CG

BA

=

CA

FB

．
由題意可得CA=BA=

2

．
∴

b

2

=

2

a

．∴b=

2

a

．
自變量a的取值范圍為1＜a＜2．

（3）由BG=CF可得BF=CG，即a=b．
∵b=

2

a

，
∴a=b=

2

．
∵OB=OC=

1

2

BC=1，
∴OF=OG=

2

-1．
∴G（1-

2

，0）．
線段BG、FG和CF之間的關系為BG²+CF²=FG²；
∵BG=OB-OG=1-(

2

-1)=2-

2

=CF，
FG=BC-2BG=2-2(2-

2

)=2

2

-2．
∵BG2+CF2=2BG2=2(2-

2

)2=12-8

2

，FG2=(2

2

-2)2=12-8

2

．
∴BG²+CF²=FG²．

點評：綜合考查了相似三角形的判定與性質；利用兩角對應相等得到所需的兩三角形相似進而得到對應邊的比成比例是解決本題的關鍵．