Question

【題目】如圖，圓的直徑為，在圓上位于直徑的異側有定點和動點，已知，點在半圓弧上運動（不與、重合），過作的垂線交的延長線于點．

（）求證： ．

（）當點運動到弧中點時，求的長．

（）當點運動到什么位置時， 的面積最大？并求這個最大面積．

Answer 1

【答案】（）證明見解析；（）；（）為直徑時最大， 最大值=．

【解析】試題分析：（1）由圓周角定理知∠CAB=∠CPD，而∠ACB=∠PCD=90°，即可判定△ABC∽△PCD，根據相似三角形的性質可得，即可得結論；（2）當點P運動到AB弧中點時，過點B作BE⊥PC于點E．由題意知∠PCB=45°，CE=BE，而又∠CAB=∠CPB，得tan∠CPB=tan∠CAB=，代入數值可求得PE的值，從而求得PC的值，由（1）知CD=PC，即可求得CD的長；（3）由題意知，S△PCD=PCCD．由（1）可知，CD=PC即可得S△PCD=PC2．故PC最大時，S△PCD取得最大值；而PC為直徑時最大，即可求解．

試題解析：

（）∵為直徑，

∴，

又，

∴，

而，

∴，

∴，

∴．

（）當運動到中點時，過作于點，

∵為直徑， ， ，

∴， ，

∵是的中點，

∴，

∴，

又，

∴．

∴，

從而，

由（）得．

（）當點在上運動時，

，由（）得，

∴，

故最大時， 取得最大值．

而為直徑時最大，

∴最大值．