Question

如圖，在以O(shè)為圓心、半徑為2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°．
（1）當(dāng)∠CBD等于多少度時(shí)，直線BD與⊙O相切？
（2）求弦AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接OB，OC，易得△OBC是等邊三角形，則可得當(dāng)∠CBD等于30°時(shí)，直線BD與⊙O相切；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，由BC=2，∠ABC=45°，由解直角三角形的知識(shí)，即可求得BE與AE的長(zhǎng)，繼而求得答案．

解答：解：（1）連接OB，OC，
∵OB=OC=BC=2，
∴△OBC是等邊三角形，
∴∠OBC=60°，
∴當(dāng)∠CBD=30°時(shí)，∠OBD=∠OBC+∠CBD=90°，即OB⊥BD，則直線BD與⊙O相切；
∴當(dāng)∠CBD等于30°時(shí)，直線BD與⊙O相切；

（2）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，
∵∠ABC=45°，BC=2，
∴BE=CE=BC•sin45°=

2

，
由（1）可得∠A=

1

2

∠BOC=30°，
∴AE=

CE

tan∠A

=

2

3 3

=

6

，
∴AB=AE+BE=

6

+

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理以及解直角三角形的知識(shí)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．