Question

已知a²+3a+1=0，求（1）a²+

1

a2

；（2）a⁴+

1

a4

．

Answer 1

分析：解決這類求值題時，應先觀察題目的特點，就本題而言，如果想通過已知條件求出字母a的值再代入，可能比較困難，所以應考慮利用轉化及整體思想解題．結合所給已知條件，不難將其轉化為a+

1

a

=-3，這樣就可以依次求得a2+

1

a2

、a4+

1

a4

的值了．

解答：解：（1）根據(jù)題意，將等式a²+3a+1=0兩邊同時除以a（a≠0）得：a+

1

a

=-3，
兩邊同時平方得：(a+

1

a

)2=(-3)2=9
∴a2+

1

a2

=7；
（2）由（1）得a2+

1

a2

=7，兩邊再次平方，得(a2+

1

a2

)2=72
∴a4+

1

a4

=（a²+

1

a2

）²-2=49-2=47．

點評：分式中的一些特殊求值題并非是一味的化簡，代入，求值．許多問題還需運用到常見的數(shù)學思想，如化歸思想（即轉化）、整體思想等，了解這些數(shù)學解題思想對于解題技巧的豐富與提高有一定幫助．就本節(jié)內(nèi)容而言，分式求值題中比較多的題型主要有三種：轉化已知條件后整體代入求值；轉化所求問題后將條件整體代入求值；既要轉化條件，也要轉化問題，然后再代入求值．