Question

如圖，正方形ABCD的長為1，點(diǎn)E是AD邊上的動點(diǎn)且從點(diǎn)A沿AD向D運(yùn)動，以BE為邊，在BE的上方作正方形BEFG，為DC與EF的交點(diǎn)，請?zhí)剿鳎?br />（1）連接CG，線段AE與CG是否相等？請說明理由．
（2）設(shè)AE=x，CG=y，請確定y與x的函數(shù)關(guān)系式并說明自變量的取值范圍．
（3）連接BH，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到邊AD上的某一點(diǎn)時將有△BEH∽△BAE，請你指出這一點(diǎn)的位置，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：由SAS定理可判斷△BEA≌△BGC，∴AE=CG，可得（1）（2）問的結(jié)論；由△BCG∽△EDH和△BEA≌△BGC所得結(jié)論進(jìn)行等量代換，最后三角形相似的判定定理進(jìn)行證明．
解答：解：（1）∵BG=EB，BC=AB，∠CBA=∠EBG，
∴∠EBA=∠GBC（同角的余角相等），
∴△BEA≌△BGC，
∴AE=CG；

（2）由（1）知AE=CG，
∴y=x（0≤x≤1）；

（3）易證得△BCG∽△EDH，
又∵△BEA≌△BGC，
∴△BAE∽△EDH，
∴△BCG∽△EDH，
∴EH：EB=DE：AB，
∴當(dāng)E為DA中點(diǎn)時，EH：EB=EA：AB且∠HEB=∠A，
即當(dāng)E為DA中點(diǎn)時△BEH∽△BAE．
點(diǎn)評：本題考查全等三角形的判定定理和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)還有正方形的性質(zhì)等．