Question

已知：如圖①，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝．E為矩形外一點(diǎn)，且△EBA∽△ABD．

（1）求AE和BE的長；

（2）若將△ABE沿著射線BD方向平移，設(shè)平移的距離為m（平移距離指點(diǎn)B沿BD方向所經(jīng)過的線段長度）．當(dāng)點(diǎn)E分別平移到線段AB、AD上時(shí)，直接寫出相應(yīng)的m的值；

（3）如圖②，將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α（0°＜α＜180°），記旋轉(zhuǎn)中的△ABE為△A′BE′，在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)A′E′所在的直線與直線AD交于點(diǎn)P，與直線BD交于點(diǎn)Q．是否存在這樣的P、Q兩點(diǎn)，使△DPQ為等腰三角形？若存在，求出此時(shí)DQ的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）AE＝4，BE＝3……………………………………………………(2分)

（2）點(diǎn)E在AB上時(shí)，m＝3；點(diǎn)E在AD上時(shí)，m＝………………………………(4分)

（3）存在．理由如下：在旋轉(zhuǎn)過程中，等腰△DPQ依次有以下4種情形：

①如圖3﹣1所示，點(diǎn)Q落在BD延長線上，且PD＝DQ，求得DQ＝3－ ；…(6分)

②如圖3﹣2所示，點(diǎn)Q落在BD上，且PQ＝DQ，求得DQ＝；…………………(8分)

 

③如圖3﹣3所示，點(diǎn)Q落在BD上，且PD＝DQ，求得DQ＝－；…………(10分)

④如圖3﹣4所示，點(diǎn)Q落在BD上，且PQ＝PD，求得DQ＝．…………………(12分)

 

綜上所述，存在4組符合條件的點(diǎn)P、點(diǎn)Q，使△DPQ為等腰三角形：

DQ的長度分別為3－、、－或.