Question

如圖，臺(tái)風(fēng)中心位于點(diǎn)P，并沿東北方向PQ移動(dòng)，已知臺(tái)風(fēng)移動(dòng)的速度為40千米/時(shí)，受影響區(qū)域的半徑為260千米，B市位于點(diǎn)P的北偏東75°方向上，距離P點(diǎn)480千米．
（1）說(shuō)明本次臺(tái)風(fēng)是否會(huì)影響B(tài)市；
（2）若這次臺(tái)風(fēng)會(huì)影響B(tài)市，求B市受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）作BH⊥PQ于點(diǎn)H，在Rt△BHP中，利用特殊角的三角函數(shù)值求出BH的長(zhǎng)與260千米相比較即可．
（2）以B為圓心，以260為半徑作圓交PQ于P₁、P₂兩點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理即可求出P₁P₂的長(zhǎng)，進(jìn)而求出臺(tái)風(fēng)影響B(tài)市的時(shí)間．

解答：解：（1）作BH⊥PQ于點(diǎn)H．
在Rt△BHP中，
由條件知，PB=480，∠BPQ=75°-45°=30°，
∴BH=480sin30°=240＜260，
∴本次臺(tái)風(fēng)會(huì)影響B(tài)市．

（2）如圖，若臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)到P₁時(shí)，臺(tái)風(fēng)開(kāi)始影響B(tài)市，臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)到P₂時(shí)，臺(tái)風(fēng)影響結(jié)束．
由（1）得BH=240，由條件得BP₁=BP₂=260，
∴P₁P₂=2

2602-2402

=200，
∴臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間t=

200

40

=5（小時(shí)）．
故B市受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間為5小時(shí)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是直角三角形的性質(zhì)及垂徑定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用，解答此題的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形及圓．