Question

【題目】已知如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，點(diǎn)B坐標(biāo)分別為（﹣1，0），（0， ），連結(jié)AB，OD由△AOB繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°而得．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°所掃過(guò)的面積；
（3）線(xiàn)段AB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°所掃過(guò)的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，過(guò)C作CE⊥OA于E，

∵點(diǎn)A，點(diǎn)B坐標(biāo)分別為（﹣1，0），（0， ），
∴OA=1，OB= ，
∵△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△COD，
∴∠AOC=∠BOD=60°，AO=OC=1，
∴OE= OC= ，CE= OC= ，
∴C（﹣ ， ）
（2）解：△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°所掃過(guò)的面積= + + × = π+
（3）解：如圖2，

線(xiàn)段AB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°所掃過(guò)的面積═（ ﹣1× ）+（）+（ ﹣ ）= .
【解析】（1）根據(jù)題意可作輔助線(xiàn)，過(guò)C作CE⊥OA于E，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠AOC=∠BOD=60°，AO=OC=1，再由直角三角形中，30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可求得OE的長(zhǎng)，在直角三角形CEO中，用銳角三角函數(shù)可求CE的長(zhǎng)，根據(jù)點(diǎn)C在第二象限可寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)。
（2）由題意結(jié)合圖形可得，△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°所掃過(guò)的面積=扇形AOC的面積+扇形BOD的面積+三角形BOC的面積。
（3）由題意結(jié)合圖形可得，線(xiàn)段AB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°所掃過(guò)的面積═扇形AOC的面積-三角形AOC的面積+扇形BOD的面積-三角形DOM的面積+三角形BCM的面積。扇形面積=n360.