Question

（2009•鄂州）已知關(guān)于x的方程kx²-2（k+1）x+k-1=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使此方程的兩個實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根可知△=[-2（k+1）]²-4k（k-1）＞0，求得k的取值范圍；
（2）可假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得方程的兩個實(shí)數(shù)根x₁，x₂的倒數(shù)和為0，列出方程即可求得k的值，然后把求得的k值代入原式中看看與已知是否矛盾，如果矛盾則不存在，如果不矛盾則存在．
解答：解：（1）∵方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=[-2（k+1）]²-4k（k-1）=12k+4＞0，且k≠0，
解得k＞-，且k≠0，
即k的取值范圍是k＞-，且k≠0；
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得方程的兩個實(shí)數(shù)根x₁，x₂的倒數(shù)和為0，
則x₁，x₂不為0，且，
即，且，
解得k=-1，
而k=-1與方程有兩個不相等實(shí)根的條件k＞-，且k≠0矛盾，
故使方程的兩個實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和為0的實(shí)數(shù)k不存在．
點(diǎn)評：本題主要考查了根的判別式的運(yùn)用和給定一個條件判斷是否存在關(guān)于字母系數(shù)的值令條件成立．解決此類問題，要先假設(shè)存在，然后根據(jù)條件列出關(guān)于字母系數(shù)的方程解出字母系數(shù)的值，再把求得的字母系數(shù)值代入原式中看看與已知是否矛盾，如果矛盾則不存在，如果不矛盾則存在．