Question

如圖1，梯形ABCD中AB∥CD，且AB=2CD，點P為BD的中點，直線AP交BC于E，交DC的延長線于F．
（1）求證：DC=CF；
（2）求的值；
（3）如圖2，連接DE，若AD⊥ED，求證：∠BAE=∠DBE．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)條件可以得出△ABP≌△FDP，由全等三角形的性質就可以得出結論；
（2）連結BF，由條件可以得出點E是△BDF的重心，由三角形的重心的性質就可以得出結論；
（3）延長DE交BF于G，可以得出四邊形ABFD是平行四邊形，就有∠DBF=∠DFB=∠DAB=∠BDA，進而得出△ADP≌△BFC，由全等三角形的性質及等式的性質就可以得出結論．
解答：（1）AB∥CD，
∴∠ABP=∠FDP，∠BAP=∠DFP
∵點P為BD的中點，
∴BP=DP．
在△ABP和△FDP中
，
∴△ABP≌△FDP（AAS），
∴AB=DF．AP=PF．
∵AB=2CD，
∴DF=2CD．
即DC=CF；

（2）連結BF
∵P是BD的中點，DC=CF，
∴E是△BDF的重心，
∴．
∵AP=PF，
∴．

（3）延長DE交BF于G，
∵E是△BDF的重心，
∴BG=GF，
∵AB∥DF，AB=DF，
∴ABFD是平行四邊形，
∴AD∥BF，DP=BD，
∵AD⊥ED，
∴DG⊥BF，
∴DB=DF=AB，
∴∠DBF=∠DFB=∠DAB=∠BDA，
∵CF=DF，
∴CF=DP．
在△ADP和△BFC中，

∴△ADP≌△BFC（SAS），
∴∠DAP=∠FBC，
∴∠DAB-∠DAP=∠DBF-∠FBC，
∴∠BAP=∠DBE．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質的運用，平行四邊形的判定與性質的運用，三角形的重心的性質的運用，解答時添加適當?shù)妮o助線是解答本題的關鍵．