Question

如圖，直線y=x+m（m≠0）交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A、交y軸正半軸于點(diǎn)B且AB=5，過點(diǎn)A作直線AC⊥AB交y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)E從坐標(biāo)原點(diǎn)O出發(fā)，以0.8個(gè)單位/秒的速度沿y軸向上運(yùn)動；與此同時(shí)直線l從與直線AC重合的位置出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度沿射線AB方向平行移動．直線l在平移過程中交射線AB于點(diǎn)F、交y軸于點(diǎn)G．設(shè)點(diǎn)E離開坐標(biāo)原點(diǎn)O的時(shí)間為t（t≥0）s．
（1）求直線AC的解析式；
（2）直線l在平移過程中，請直接寫出△BOF為等腰三角形時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）直線l在平移過程中，設(shè)點(diǎn)E到直線l的距離為d，求d與t的函數(shù)關(guān)系．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)已知條件表示出A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)AB=5得出m的值，即可求出OB的值，再根據(jù)直線AC⊥AB交y軸于點(diǎn)C，得出△BOA∽△AOC，從而得出CO的值，再根據(jù)點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上，得出C點(diǎn)的坐標(biāo)，然后設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，把A，C點(diǎn)代入求出解析式；
（2）根據(jù)（1）的證明直接得出△BOF為等腰三角形時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）先分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)0≤t≤5時(shí)，先作ED⊥FG于D，得出ED=d，得出FG∥AC，再根據(jù)AF=t，AB=5得出BF的值，即可求出BC的值，再根據(jù)BC的值求出BG的值，再根據(jù)FG⊥AB，ED⊥FG，得出∠GDE=∠GFB=90°，求出ED∥AB，即可求出d與t的函數(shù)關(guān)系；再求當(dāng)t＞5時(shí)，先作ED⊥FG于D，得出ED=d，得出FG∥AC，得出B點(diǎn)的坐標(biāo)，求出BC的值，從而得出BE，EG的值，再根據(jù)FG⊥AB，ED⊥FG，∠GDE=∠GFB=90°，得出ED∥AB即可求出d與t的函數(shù)關(guān)系；
解答：解：（1）∵y=x+m交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A、交y軸正半軸于點(diǎn)B，
∴B（0，m）、A（-3，0）．
∵AB=5，
∴m²+3²=5²，
解得m=±4．
∵m＞0，
∴m=4．
∴B（0，4）．
∴OB=4．
∵直線AC⊥AB交y軸于點(diǎn)C，易得△BOA∽△AOC，
∴=．
∴CO===．
∵點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上，
∴C（0，-）．
設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，
∵A（-3，0），C（0，-），
∴，
解得，
∴y=-x-；

（2）F₁（，）、F₂（-，）、F₃．（-，2）；

（3）分兩種情況：第一種情況：當(dāng)0≤t≤5時(shí)，
如圖，作ED⊥FG于D，則ED=d．
由題意，F(xiàn)G∥AC，
∴=，
∵AF=t，AB=5，
∴BF=5-t．
∵B（0，4），
∴BC=4+=．
∴=．
∴BG=（5-t）．
∵OE=0.8t，OB=4，
∴BE=4-0.8t．
∴EG=（5-t）-（4-0.8t）=-t．
∵FG⊥AB，ED⊥FG，
∴∠GDE=∠GFB=90°．
∴ED∥AB．
∴=．
∴=．
∴d=-t+．
第二種情況：當(dāng)t＞5時(shí)，
如圖（2），
作ED⊥FG于D，則ED=d，
則題意，F(xiàn)G∥AC，
∴=．
∵AF=t，AB=5，
∴BF=t-5．
∵B（0，4），C（0，-），
∴BC=4+=．
∴=．
∴BG=（t-5）．
∵OE=0.8t，OB=4，
∴BE=0.8t-4，EG=（t-5）-（0.8t-4），
=t-．
∵FG⊥AB，ED⊥FG，∠GDE=∠GFB=90°，
∴ED∥AB．
∴=．
∴=．
∴d=t-．
點(diǎn)評：此題考查了一次函數(shù)的綜合；解題的關(guān)鍵是求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，再用各點(diǎn)的坐標(biāo)求出解析式，注意（3）中分兩種情況進(jìn)行討論，不要漏掉．